Билет № 8 1. Сформулируйте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 3. Сформулируйте признаки параллельных прямых. Докажите, что если накрест лежащие углы равны то прямые параллельны. 4. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание - 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу.

Билет № 8

1. Медиана треугольника: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

   Биссектриса треугольника: Отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

   Высота треугольника: Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

2. Признаки параллельных прямых:

   • Если при пересечении двух прямых третьей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

   Доказательство:

   • Пусть даны две прямые a и b, пересеченные третьей прямой c. Пусть накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны.
   • Предположим, что прямые a и b не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке.
   • Через точку пересечения можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой (по аксиоме параллельности Евклида).
   • Так как ∠1 = ∠2, то прямые a и b должны быть параллельны. Противоречие.
   • Следовательно, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника.

   Пусть боковая сторона равна x.

   Периметр равнобедренного треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания:

   P = 2x + a, где a – основание.

   19 = 2x + 7

   2x = 19 - 7 = 12

   x = 12 / 2 = 6

   Боковая сторона треугольника равна 6 см.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу.

   Пусть гипотенуза равна c, меньший катет равен a, а больший катет равен b.

   Один из углов равен 60°, значит, второй острый угол равен 30° (90° - 60° = 30°).

   Меньший катет лежит против угла 30°, поэтому a = (1/2)c.

   По условию c + a = 42.

   Подставим a = (1/2)c в уравнение:

   c + (1/2)c = 42

   (3/2)c = 42

   c = (2/3) * 42 = 28

   Гипотенуза равна 28 см.