B-I 1. В прямоугольных треугольниках EFG и OPR углы G и R прямые. Докажите, что треугольники равны, если EG = OR, GF = RP. 2. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠C = 90°, ∠A = 30°, AB Найдите сторону ВС. 3. В треугольниках АВС и MPK ∠A = ∠M 90°, AB Докажите, что KM = KP. 1 2 = = = = 18. MP, BC PK, ∠B = 30°. 4. В треугольнике ABC ∠A = 60°, ∠C = 30°. Докажите, что треугольники СМА и АВС равны, если точка М расположена вне треугольника АВС так, что МА||BC, MC||AB. B-II 1. В прямоугольных треугольниках ABC и KLM углы С и М прямые. Докажите, что треугольники равны, если АВ = KL, AC = КМ. 90, LD = 30, DE = LM = 90 90°, ∠C = ∠K, BC 2. В прямоугольном треугольнике DEF: LF = 90 Найдите сторону EF. 3. В треугольниках АВС и MPK LA Найдите ∠P. 0 2 = = = 26. PK, AC = BC. 4. В треугольнике ABC ∠A = ∠C = 45°. Докажите, что медиана BD делит треугольник АВС на два равных треугольника.

B-I 1. В прямоугольных треугольниках \(EFG\) и \(OPR\) углы \(G\) и \(R\) прямые. Докажите, что треугольники равны, если \(EG = OR\), \(GF = RP\). * Решение: Так как \(EFG\) и \(OPR\) прямоугольные треугольники, и даны два катета \(EG = OR\) и \(GF = RP\), то по двум катетам эти треугольники равны. 2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = 18\). Найдите сторону \(BC\). * Решение: В прямоугольном треугольнике против угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, \(BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\). 3. В треугольниках \(ABC\) и \(MPK\) \(\angle A = \angle M = 90^\circ\), \(AB = MP\), \(BC = PK\), \(\angle B = 30^\circ\). Докажите, что \(KM = \frac{1}{2}KP\). * Решение: \(\angle A = \angle M = 90^\circ\), \(AB = MP\), \(BC = PK\), значит, \(\triangle ABC = \triangle MPK\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(\angle B = \angle P = 30^\circ\). Тогда в \(\triangle MPK\) катет \(KM\) лежит против угла в \(30^\circ\), и \(KM = \frac{1}{2}KP\). 4. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\). Докажите, что треугольники \(CMA\) и \(ABC\) равны, если точка \(M\) расположена вне треугольника \(ABC\) так, что \(MA \|\| BC\), \(MC \|\| AB\). * Решение: Так как \(MA \|\| BC\) и \(MC \|\| AB\), то \(AMCB\) - параллелограмм. \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). Следовательно, \(AMCB\) - прямоугольник. Значит, \(\angle CMA = 90^\circ\). \(\angle MAC = \angle C = 30^\circ\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Аналогично, \(\angle MCA = \angle A = 60^\circ\). Таким образом, \(\triangle CMA = \triangle ABC\) по двум углам и стороне между ними (\(AC\) - общая). B-II 1. В прямоугольных треугольниках \(ABC\) и \(KLM\) углы \(C\) и \(M\) прямые. Докажите, что треугольники равны, если \(AB = KL\), \(AC = KM\). * Решение: \(\triangle ABC\) и \(\triangle KLM\) - прямоугольные. Дано: \(AB = KL\) (гипотенузы) и \(AC = KM\) (катеты). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle KLM\) по гипотенузе и катету. 2. В прямоугольном треугольнике \(DEF\): \(\angle F = 90^\circ\), \(\angle D = 30^\circ\), \(DE = 26\). Найдите сторону \(EF\). * Решение: В прямоугольном треугольнике против угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, \(EF = \frac{1}{2} DE = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13\). 3. В треугольниках \(ABC\) и \(MPK\) \(\angle A = \angle M = 90^\circ\), \(\angle C = \angle K\), \(BC = PK\), \(AC = \frac{1}{2}BC\). Найдите \(\angle P\). * Решение: Так как \(\angle A = \angle M = 90^\circ\) и \(\angle C = \angle K\), то \(\triangle ABC \sim \triangle MPK\) (по двум углам). Значит, \(\angle B = \angle P\). \(\angle C = 90^\circ - \angle B\), и \(AC = \frac{1}{2}BC\). Это значит, что \(\angle B = 30^\circ\) (катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы). Следовательно, \(\angle P = 30^\circ\). 4. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A = \angle C = 45^\circ\). Докажите, что медиана \(BD\) делит треугольник \(ABC\) на два равных треугольника. * Решение: Так как \(\angle A = \angle C = 45^\circ\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный, и \(AB = BC\). \(\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABC\) - прямоугольный и равнобедренный. Медиана \(BD\), проведенная к гипотенузе, является также высотой и биссектрисой. Значит, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) (по двум катетам).