4. BD — биссектриса угла ABC, DA и DC — перпендикуляры к сторонам угла (см. рис. 40). Докажите, что: а) треугольники ABD и CBD равны; б) расстояния от точки D до сторон угла равны.

Доказательство:

1. а) Докажем, что треугольники ABD и CBD равны.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CBD:
3. BD — общая сторона.
4. Угол ABD равен углу CBD, так как BD — биссектриса угла ABC.
5. Угол DAB и угол DCB прямые, так как DA и DC — перпендикуляры к сторонам угла.
6. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
7. б) Докажем, что расстояния от точки D до сторон угла равны.
8. Так как треугольники ABD и CBD равны, то соответствующие стороны равны.
9. DA и DC — это расстояния от точки D до сторон угла, и они являются соответствующими сторонами равных треугольников.
10. Следовательно, DA = DC, то есть расстояния от точки D до сторон угла равны.