Базовый и углублённый уровни «Мат. вертикаль», 8 кл., 2021/2022 уч. г. 8.5.2 Преобразование рациональных выражений Базовый и углублённый уровни. Классная работа Задача 1. Укажите равенства, для которых множества допустимых значений переменной в левой и правой частях совпадают. (x+5)2 x+5 1) x(x+5) x (x-2)2 2) x-2 = x-2 x(x+5) x 3) (x+5)2 = x+5 4) x + = 5x+4 5 x+1 x²+5 5) x-5 + x-5 = 5(x-5) Задача 2. Укажите равенства, для которых множества допустимых значений переменной в левой и правой частях совпадают. 5x x 1) x²+5 + x²+5 = x 5 10 2) x-2 = 2x-4 2x+6 2 3) x²+3x = x 1 1-x 5-2х 1 1 2x 4) 2x + 3x = 6x 5) x-5 + x+5 = x²-25 Задача 3. Укажите равенства, которые не являются тождествами. 3x2 x 6a a 7a 1) 5x - 5x = 0 2) 6x = 2 3) a+1 + a+1 = a+1 x2 x3 4) x² = x2 x x 5) x+4-x+4 = 0 Задача 4. Укажите равенства, которые являются тождествами. (x+5)2 1 (x-2)2 2) x-2 = x-2 3) x(x+5) = x+5 x(x+5) x(x+5) 4) x+5 = 5 x+1 x²+5 5) x-5 + x-5 = 5(x-5) Задача 5. Укажите равенства, которые являются тождествами. 5 2 10 1) x + x = x 5 10 2) x-2 = 2x-4 2x+6 2 3) x²+3x = x 1 1 2x 4) 2x + 3x = 6x 5) x-5 + x+5 = x²-25 Задача 6. Докажите тождество 2x + 3y = 2x + 3y a³ + 4a Задача 7. Докажите тождество 22 +4 = a. 2x 6 6 2x Задача 8. Докажите тождество x-3 = x+3 + x-3 + x+3 1 1 Задача 9. Докажите тождество y+2 + y+3 = y²+5y+6 Задача 10. Докажите, что равенство не является тождеством, указав какое-нибудь значение у, 1 1 6 при котором левая и правая части не совпадают: y+1 + y+3 = (y+1)(y+3). 1 Базовый и углублённый уровни «Мат. вертикаль», 8 кл., 2021/2022 уч. г. Задача 11. Докажите тождество x-8 1 14 x-7 + x+7 = 1 - x²-49 x²-3x+1 x2+3x-1 2x Задача 12. Докажите тождество -3 = 3x+3 = x²-9 y²-3 2y+11 y³+7y²+12y+7 Задача 13. Докажите тождество: y+2 + y+5 = y²+7y+10

Задача 1

Укажите равенства, для которых множества допустимых значений переменной в левой и правой частях совпадают.

1. \[\frac{(x+5)^2}{x(x+5)} = \frac{x}{x}\]
2. \[\frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2\]
3. \[\frac{x(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{x}{x+5}\]
4. \[x + \frac{4}{5} = \frac{5x+4}{5}\]
5. \[\frac{x+1}{x-5} + \frac{x^2+5}{x-5} = \frac{5}{5(x-5)}\]

Задача 2

Укажите равенства, для которых множества допустимых значений переменной в левой и правой частях совпадают.

1. \[\frac{5}{x^2+5} + \frac{5x}{x^2+5} = \frac{x}{x}\]
2. \[\frac{5}{x-2} = \frac{10}{2x-4}\]
3. \[\frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2}{x}\]
4. \[\frac{1}{2x} + \frac{1-x}{3x} = \frac{5-2x}{6x}\]
5. \[\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x+5} = \frac{2x}{x^2-25}\]

Задача 3

Укажите равенства, которые не являются тождествами.

1. \[5x - 5x = 0\]
2. \[\frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}\]
3. \[\frac{6a}{a+1} + \frac{a}{a+1} = \frac{7a}{a+1}\]
4. \[\frac{x^2}{x^2} = \frac{x^3}{x^2}\]
5. \[\frac{x}{x+4} - \frac{x}{x+4} = 0\]

Задача 4

Укажите равенства, которые являются тождествами.

1. \[\frac{(x+5)^2}{x(x+5)} = \frac{1}{x(x+5)}\]
2. \[\frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2\]
3. \[\frac{x(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{x}{x+5}\]
4. \[x + \frac{4}{5} = \frac{4}{5}\]
5. \[\frac{x+1}{x-5} + \frac{x^2+5}{x-5} = \frac{x^2+5}{5(x-5)}\]

Задача 5

Укажите равенства, которые являются тождествами.

1. \[\frac{5}{x} + \frac{2}{x} = \frac{10}{x}\]
2. \[\frac{5}{x-2} = \frac{10}{2x-4}\]
3. \[\frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2}{x}\]
4. \[\frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{5}{6x}\]
5. \[\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x+5} = \frac{2x}{x^2-25}\]

Задача 6

Докажите тождество \[\frac{2x + 3y}{(2x + 3y)^2} = \frac{1}{2x + 3y}\]

Решение:

Упростим левую часть тождества:

\[\frac{2x + 3y}{(2x + 3y)^2} = \frac{2x + 3y}{(2x + 3y)(2x + 3y)} = \frac{1}{2x + 3y}\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Задача 7

Докажите тождество \[\frac{a^3 + 4a}{a^2 + 4} = a\]

Решение:

Упростим левую часть тождества:

\[\frac{a^3 + 4a}{a^2 + 4} = \frac{a(a^2 + 4)}{a^2 + 4} = a\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Задача 8

Докажите тождество \[\frac{2x}{x-3} - \frac{6}{x+3} = \frac{6}{x-3} + \frac{2x}{x+3}\]

Решение:

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а константы в правую:

\[\frac{2x}{x-3} - \frac{2x}{x+3} = \frac{6}{x-3} + \frac{6}{x+3}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{2x(x+3) - 2x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6(x+3) + 6(x-3)}{(x-3)(x+3)}\] \[\frac{2x^2 + 6x - 2x^2 + 6x}{x^2 - 9} = \frac{6x + 18 + 6x - 18}{x^2 - 9}\] \[\frac{12x}{x^2 - 9} = \frac{12x}{x^2 - 9}\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Задача 9

Докажите тождество \[\frac{1}{y+2} + \frac{1}{y+3} = \frac{1}{y^2 + 5y + 6}\]

Решение:

Преобразуем левую часть:

\[\frac{1}{y+2} + \frac{1}{y+3} = \frac{(y+3) + (y+2)}{(y+2)(y+3)} = \frac{2y+5}{y^2 + 5y + 6}\]

Так как левая часть не равна правой, тождество неверно.

Задача 10

Докажите, что равенство не является тождеством, указав какое-нибудь значение y, при котором левая и правая части не совпадают:

\[\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y+3} = \frac{6}{(y+1)(y+3)}\]

Решение:

Приведем левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y+3} = \frac{(y+3) + (y+1)}{(y+1)(y+3)} = \frac{2y+4}{(y+1)(y+3)}\]

Чтобы равенство не было тождеством, нужно чтобы при каком-то значении y левая и правая части не совпадали.

Пусть y = 0, тогда:

\[\frac{2(0)+4}{(0+1)(0+3)} = \frac{4}{3}\] \[\frac{6}{(0+1)(0+3)} = \frac{6}{3} = 2\]

Так как \(\frac{4}{3}
eq 2\), равенство не является тождеством.

Задача 11

Докажите тождество \[\frac{x-8}{x-7} + \frac{1}{x+7} = 1 - \frac{14}{x^2-49}\]

Решение:

Приведем все к общему знаменателю \((x-7)(x+7) = x^2 - 49\):

\[\frac{(x-8)(x+7) + (x-7)}{x^2-49} = \frac{x^2 - 49 - 14}{x^2-49}\] \[\frac{x^2 - 8x + 7x - 56 + x - 7}{x^2-49} = \frac{x^2 - 63}{x^2-49}\] \[\frac{x^2 - 63}{x^2-49} = \frac{x^2 - 63}{x^2-49}\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Задача 12

Докажите тождество \[\frac{x^2-3x+1}{x-3} - \frac{x^2+3x-1}{x+3} = \frac{2x}{x^2-9}\]

Решение:

Преобразуем левую часть:

\[\frac{(x^2-3x+1)(x+3) - (x^2+3x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x}{x^2-9}\] \[\frac{(x^3 - 3x^2 + x + 3x^2 - 9x + 3) - (x^3 + 3x^2 - x - 3x^2 - 9x + 3)}{x^2-9} = \frac{2x}{x^2-9}\] \[\frac{x^3 - 8x + 3 - x^3 - 2x^2 + 10x - 3}{x^2-9} = \frac{2x}{x^2-9}\] \[\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x}{x^2-9}\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Задача 13

Докажите тождество: \[\frac{y^2-3}{y+2} + \frac{2y+11}{y+5} = \frac{y^3+7y^2+12y+7}{y^2+7y+10}\]

Решение:

Преобразуем левую часть:

\[\frac{(y^2-3)(y+5) + (2y+11)(y+2)}{(y+2)(y+5)} = \frac{y^3+7y^2+12y+7}{y^2+7y+10}\] \[\frac{(y^3 + 5y^2 - 3y - 15) + (2y^2 + 4y + 11y + 22)}{y^2+7y+10} = \frac{y^3+7y^2+12y+7}{y^2+7y+10}\] \[\frac{y^3 + 7y^2 + 12y + 7}{y^2+7y+10} = \frac{y^3+7y^2+12y+7}{y^2+7y+10}\]

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Ты сегодня Geometry God! Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро