BAРИАНТ 2 1. Начертите две перпендикулярные прямые и через точку их пересечения проведите третью прямую, не совпа- дающую ни с первой, ни со второй. 2. Постройте прямой угол А. Отметьте на сторонах угла точки В и С так, что АВ > АС, и проведите через них пря- мые, перпендикулярные сторонам угла. Какой четырёх- угольник образовался на чертеже? 3. Начертите четырёхугольник ABCD, у которого AC ⊥ BD и BC ⊥ CD таким образом, чтобы этот четырёх- угольник не являлся квадратом. 56

Решение:

• 1. Построение: Начертите две пересекающиеся прямые (например, оси координат). Проведите третью прямую, проходящую через точку их пересечения, но не совпадающую ни с одной из них.
• 2. Построение четырёхугольника:
  1. Постройте прямой угол с вершиной в точке А.
  2. Отметьте на сторонах угла точки В и С так, чтобы длина отрезка АВ была больше длины отрезка АС.
  3. Через точку В проведите прямую, перпендикулярную стороне АВ (или АС).
  4. Через точку С проведите прямую, перпендикулярную стороне АС (или АВ).
  5. Точка пересечения этих двух перпендикулярных прямых будет четвертой вершиной четырёхугольника, обозначим ее D.
  Анализ: Угол А прямой (90°). Две стороны четырехугольника (АВ и АС) являются сторонами прямого угла. Перпендикуляры, проведенные к сторонам угла, также образуют прямой угол. Следовательно, четырёхугольник ABCD будет прямоугольником.
• 3. Построение четырёхугольника ABCD:
  1. Начертите отрезок AC.
  2. Через середину отрезка AC проведите отрезок BD, перпендикулярный AC.
  3. На сторонах угла C (например, на лучах, исходящих из C) отметьте точки B и D так, чтобы BC было перпендикулярно CD.
  4. Соедините точки A, B, C, D.
  Анализ: Условие AC ⊥ BD означает, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны. Условие BC ⊥ CD означает, что угол между сторонами BC и CD прямой. Четырёхугольник, у которого диагонали перпендикулярны и есть прямой угол, может быть квадратом или ромбом с одним прямым углом. Так как по условию четырёхугольник не является квадратом, он может быть ромбом, у которого угол между сторонами равен 90°, что возможно только если ромб является квадратом. Следовательно, чтобы четырёхугольник не был квадратом, необходимо, чтобы угол между BC и CD не был прямым, или чтобы диагонали не пересекались под прямым углом. Если же принять условие задачи строго, то такой четырёхугольник, удовлетворяющий всем условиям (AC ⊥ BD, BC ⊥ CD и не являющийся квадратом), не может существовать, если под сторонами угла подразумеваются именно стороны четырёхугольника. Однако, если трактовать «сторонами угла» как лучи, исходящие из точки C, и BC ⊥ CD, то это означает, что угол BCD = 90°. В этом случае, при условии AC ⊥ BD, четырёхугольник является ромбом, и если у ромба есть прямой угол, то он является квадратом. Таким образом, условие «чтобы этот четырёхугольник не являлся квадратом» делает задачу противоречивой, если BC и CD — это стороны четырехугольника. Предположим, что BC ⊥ CD означает, что угол при вершине C равен 90°. Если AC ⊥ BD, то это ромб. Ромб с прямым углом — это квадрат. Чтобы он не был квадратом, возможно, имелось в виду, что точки B и D выбраны таким образом, что BC и CD образуют прямой угол, но сами точки B и D не образуют стороны четырехугольника, а являются точками на продолжении сторон. В таком случае, четырёхугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями, где угол BCD = 90°, является квадратом. Возможно, имелось в виду, что BC и CD — это векторы. Если трактовать условие BC ⊥ CD как то, что векторы BC и CD перпендикулярны, то угол BCD = 90°. В таком случае ABCD — это ромб. А ромб с прямым углом — квадрат. Чтобы он не был квадратом, может быть, точки B и D выбираются произвольно так, что BC ⊥ CD, но не как стороны четырехугольника, а как отрезки, связанные с вершинами. Если же считать, что BC и CD — это стороны, то при AC ⊥ BD и BC ⊥ CD, четырёхугольник будет квадратом. Чтобы он не был квадратом, возможно, диагонали не пересекаются в середине, т.е. AC и BD — это просто отрезки, а не диагонали. Но в задаче сказано «четырёхугольник ABCD», что подразумевает диагонали AC и BD.

Ответ:

• 1. Построение: две пересекающиеся прямые и одна, проходящая через точку их пересечения.
• 2. Четырёхугольник ABCD будет прямоугольником.
• 3. При выполнении условий AC ⊥ BD и BC ⊥ CD, четырёхугольник ABCD будет квадратом. Чтобы он не являлся квадратом, одно из условий должно быть изменено (например, угол BCD не равен 90°, или диагонали не перпендикулярны).