1. (1 балл) По данным рисунка 1 докажите равенство треугольников ВЕН и BFH.

Докажем равенство треугольников \(\triangle BEH\) и \(\triangle BFH\). 1. **Условие:** \(BE \perp AC\) и \(BF \perp AC\), следовательно, \(\angle BEH = \angle BFH = 90^{\circ}\). 2. **Условие:** \(AH = HC\), значит, H - середина AC. 3. **Условие:** \(\angle A = \angle C\). Рассмотрим \(\triangle AEB\) и \(\triangle CFB\): * \(\angle A = \angle C\) (дано) * \(\angle AEB = \angle CFB = 90^{\circ}\) Следовательно, \(\triangle AEB\) и \(\triangle CFB\) подобны по двум углам. Так как треугольники подобны, и \(BE \perp AC\) и \(BF \perp AC\), то \(BE=BF\). Рассмотрим \(\triangle BEH\) и \(\triangle BFH\): * \(BE = BF\) (доказано выше) * \(\angle BEH = \angle BFH = 90^{\circ}\) (по условию) * BH - общая сторона Следовательно, \(\triangle BEH = \triangle BFH\) по катету и гипотенузе. **Ответ: \(\triangle BEH = \triangle BFH\)** **Развёрнутый ответ для школьника:** Для доказательства равенства треугольников \(\triangle BEH\) и \(\triangle BFH\) мы использовали несколько шагов. Сначала показали, что углы \(\angle BEH\) и \(\angle BFH\) прямые, так как \(BE\) и \(BF\) перпендикулярны \(AC\). Затем, учитывая равенство углов \(\angle A\) и \(\angle C\), и перпендикулярность \(BE\) и \(BF\), мы пришли к выводу, что треугольники \(\triangle AEB\) и \(\triangle CFB\) подобны, а значит, \(BE = BF\). После этого мы рассмотрели непосредственно треугольники \(\triangle BEH\) и \(\triangle BFH\). У них \(BE = BF\), угол между этими сторонами прямой, и сторона \(BH\) общая. По этим условиям мы заключили, что треугольники \(\triangle BEH\) и \(\triangle BFH\) равны по признаку равенства треугольников по катету и гипотенузе.