B4. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки F и D соответственно, а на стороне AC выбраны точки H и E так, что HD || AB, FE || BC. Найдите ∠FGH, если: a) ∠A = 68°, ∠C = 43°; б) ∠B = 74°.

Решение:

а) ∠A = 68°, ∠C = 43°

1. В треугольнике ABC: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 68° - 43° = 69° \).

2. Так как FE || BC, то \( \triangle AFE \sim \triangle ABC \). Следовательно, \( \angle AFE = \angle ABC = 69° \) и \( \angle AEF = \angle ACB = 43° \).

3. Так как HD || AB, то \( \triangle HDC \sim \triangle ABC \). Следовательно, \( \angle HDC = \angle ABC = 69° \) и \( \angle DHC = \angle BAC = 68° \).

4. Рассмотрим четырёхугольник FBDH. У него \( \angle FBD = \angle ABC = 69° \), \( \angle BDF = \angle HDC = 69° \) (как соответствующие при параллельных прямых HD и AB и секущей BC). Но это неверно.

Переосмыслим задачу:

1. Так как FE || BC, то \( \angle AEF = \angle C = 43° \) (как соответственные углы при параллельных FE и BC и секущей AC).

2. Так как HD || AB, то \( \angle DHC = \angle A = 68° \) (как соответственные углы при параллельных HD и AB и секущей AC).

3. Угол \( \angle FGH \) является частью угла \( \angle DHE \). Угол \( \angle DHE \) — это угол между двумя прямыми.

4. Рассмотрим треугольник ABC. \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 68° - 43° = 69° \).

5. Рассмотрим четырёхугольник FBDH. \( \angle B = 69° \). \( \angle F = ? \), \( \angle H = ? \). У нас нет информации о параллельности сторон FBDH.

Вернемся к подобию треугольников.

1. \( \triangle AFE \sim \triangle ABC \) (по двум углам: \( \angle A \) общий, \( \angle AFE = \angle ABC \) как соответственные при FE || BC и секущей AB).

2. \( \triangle HDC \sim \triangle ABC \) (по двум углам: \( \angle C \) общий, \( \angle HDC = \angle ABC \) как соответственные при HD || AB и секущей BC).

3. Нас интересует \( \angle FGH \). Точка G является точкой пересечения FE и HD.

4. Рассмотрим прямые FE и HD. Они пересекаются в точке G.

5. Угол \( \angle FGH \) является вертикальным углом к углу \( \angle EGD \).

6. Рассмотрим \( \triangle GEC \). \( \angle GEC = \angle AEF = 43° \) (как вертикальные). \( \angle GCE = \angle C = 43° \). Следовательно, \( \triangle GEC \) — равнобедренный, \( GE = GC \).

7. Рассмотрим \( \triangle AGH \). \( \angle GAH = \angle A = 68° \). \( \angle AGH = ? \). \( \angle AHG = \angle DHC = 68° \) (как соответственные при HD || AB и секущей AC).

8. В \( \triangle AGH \): \( \angle AGH = 180° - \angle GAH - \angle AHG = 180° - 68° - 68° = 180° - 136° = 44° \).

9. Тогда \( \angle FGH \) — смежный с \( \angle AGH \), но это неверно. G — точка пересечения FE и HD.

10. \( \angle FGH \) и \( \angle AGE \) — вертикальные углы.

11. Рассмотрим \( \triangle AGE \).

12. \( \angle GAE = \angle A = 68° \).

13. \( \angle GEA = \angle C = 43° \) (так как FE || BC).

14. \( \angle AGE = 180° - \angle GAE - \angle GEA = 180° - 68° - 43° = 180° - 111° = 69° \).

15. Следовательно, \( \angle FGH \) (вертикальный с \( \angle AGE \)) = \( 69° \).

б) ∠B = 74°

1. В треугольнике ABC: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \). Нам не даны \( \angle A \) и \( \angle C \) напрямую. Но из рисунка видно, что \( \angle FGH \) зависит от углов треугольника ABC.

2. Так как FE || BC, то \( \angle AEF = \angle ACB \) (соответственные). Пусть \( \angle ACB = \gamma \).

3. Так как HD || AB, то \( \angle DHC = \angle BAC \) (соответственные). Пусть \( \angle BAC = \alpha \).

4. В \( \triangle AGE \): \( \angle GAE = \angle A = \alpha \), \( \angle GEA = \angle C = \gamma \).

5. \( \angle AGE = 180° - \alpha - \gamma \).

6. Так как \( \alpha + \angle B + \gamma = 180° \), то \( 180° - \alpha - \gamma = \angle B \).

7. Следовательно, \( \angle AGE = \angle B = 74° \).

8. \( \angle FGH \) вертикален к \( \angle AGE \), поэтому \( \angle FGH = \angle AGE = 74° \).

Проверка для случая а):

\( \angle A = 68°, \angle C = 43° \). \( \angle B = 180° - 68° - 43° = 69° \). По формуле \( \angle FGH = \angle B \), должно быть 69°. В пункте 14 получилось 69°. Это совпадает.

Ответ: а) 69°; б) 74°.