B13: Трое кондитеров одинаковой квалификации получили заказ на изготовление 60 тортов. Они присоединялись к работе через равные промежутки времени. Вся работа была выполнена за 16 часов, из которых последние 4 часа все трое работали одновременно. Найдите, сколько тортов успел приготовить первый кондитер до того, как к нему присоединился второй.

Решение:

1. Пусть \( t \) — время, которое работал только первый кондитер.
2. Пусть \( Δ t \) — равные промежутки времени, через которые присоединялись кондитеры.
3. Всего работали 16 часов. Последние 4 часа работали все трое.
4. Время, когда работали двое, равно \( 16 - 4 = 12 \) часов.
5. Время, когда работал только первый кондитер, равно \( 12 - Δ t \).
6. Второй кондитер присоединился через \( Δ t \) часов после первого.
7. Третий кондитер присоединился еще через \( Δ t \) часов после второго.
8. Таким образом, первый кондитер работал \( (12 - Δ t) + Δ t + 4 = 16 - Δ t \) часов.
9. Второй кондитер работал \( Δ t + 4 \) часов.
10. Третий кондитер работал \( 4 \) часа.
11. Пусть \( x \) — производительность одного кондитера (тортов в час).
12. Общее количество тортов: \( x(16 - Δ t) + x( Δ t + 4) + 4x = 60 \).
13. \( 16x - xΔ t + xΔ t + 4x + 4x = 60 \).
14. \( 24x = 60 \).
15. \( x = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} = 2.5 \) торта в час.
16. Теперь нужно найти \( Δ t \).
17. Время, когда работали двое, составило \( 12 \) часов. Это время работы первого и второго кондитера.
18. Первый работал \( 12 - Δ t \) часов, второй работал \( Δ t \) часов.
19. Они вместе сделали \( x(12 - Δ t) + x(Δ t) = 12x \) тортов.
20. Или, если мыслить иначе:
21. Первый кондитер работал \( T_1 \) часов.
22. Второй кондитер работал \( T_2 \) часов.
23. Третий кондитер работал \( T_3 \) часов.
24. \( T_3 = 4 \) часа (последние 4 часа).
25. \( T_1 + T_2 + T_3 = 16 \) (общее время работы).
26. \( T_1 + T_2 + 4 = 16 ⇒ T_1 + T_2 = 12 \).
27. Они присоединялись через равные промежутки времени \( Δ t \).
28. \( T_1 = ? \)
29. \( T_2 = T_1 + Δ t \)
30. \( T_3 = T_2 + Δ t = T_1 + 2Δ t = 4 \).
31. Из \( T_1 + T_2 = 12 \): \( T_1 + (T_1 + Δ t) = 12 ⇒ 2T_1 + Δ t = 12 \).
32. У нас система уравнений:
33. \( T_1 + 2Δ t = 4 \)
34. \( 2T_1 + Δ t = 12 \)
35. Умножим первое уравнение на 2: \( 2T_1 + 4Δ t = 8 \).
36. Вычтем второе уравнение из этого: \( (2T_1 + 4Δ t) - (2T_1 + Δ t) = 8 - 12 \)
37. \( 3Δ t = -4 ⇒ Δ t = -4/3 \). Время не может быть отрицательным.
38. Переосмыслим условие: