B 1) log₂ (tg$\frac{\pi}{180}$) · log₃ (tg$\frac{2\pi}{180}$) · log₄ (tg$\frac{3\pi}{180}$) · ... · log₉₀ (tg$\frac{89\pi}{180}$); 2) (lg(tg 46°) - $\frac{1}{2}$lg 3) · (lg(tg 47°) - $\frac{1}{2}$lg 3) · ... · (lg(tg 89°) - $\frac{1}{2}$lg 3); 3) (1 + log₂ sin 1°)(1 + log₂ sin 2°)....(1 + log₂ sin 89°); 4) числа α, β, γ, δ принадлежат промежутку [0; 2π]; sin α = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos β = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$; tg γ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$; ctg δ = $\sqrt{3}$; σ = α + β + γ + δ. Найдите σmin и σmax; 5) $\frac{\sin 1° \cdot \sin 2° \cdot ... \cdot \sin 90°}{\sin 91° \cdot \sin 92° \cdot ... \cdot \sin 179°}$; 6) tg 1° tg 2°... tg 89°; 7) log₃ ($\sqrt{\sin\frac{5\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{5\pi}{2}}$)

Question

B 1) log₂ (tg$\frac{\pi}{180}$) · log₃ (tg$\frac{2\pi}{180}$) · log₄ (tg$\frac{3\pi}{180}$) · ... · log₉₀ (tg$\frac{89\pi}{180}$); 2) (lg(tg 46°) - $\frac{1}{2}$lg 3) · (lg(tg 47°) - $\frac{1}{2}$lg 3) · ... · (lg(tg 89°) - $\frac{1}{2}$lg 3); 3) (1 + log₂ sin 1°)(1 + log₂ sin 2°)....(1 + log₂ sin 89°); 4) числа α, β, γ, δ принадлежат промежутку [0; 2π]; sin α = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos β = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$; tg γ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$; ctg δ = $\sqrt{3}$; σ = α + β + γ + δ. Найдите σmin и σmax; 5) $\frac{\sin 1° \cdot \sin 2° \cdot ... \cdot \sin 90°}{\sin 91° \cdot \sin 92° \cdot ... \cdot \sin 179°}$; 6) tg 1° tg 2°... tg 89°; 7) log₃ ($\sqrt{\sin\frac{5\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{5\pi}{2}}$)

$Фото задания: B 1) log₂ (tg$\frac{\pi}{180}$) · log₃ (tg$\frac{2\pi}{180}$) · log₄ (tg$\frac{3\pi}{180}$) · ... · log₉₀…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

1) Данное выражение является произведением логарифмов. Рассмотрим общий множитель: $\log_n(\operatorname{tg}(\frac{(n-1)\pi}{180}))$. Заметим, что $\operatorname{tg}(\frac{90\pi}{180}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$, что не определено. Если бы один из множителей был $\log_n(\operatorname{tg}(\frac{90\pi}{180}))$, то всё произведение было бы равно 0. Однако, здесь такого множителя нет. Если предположить, что последнее слагаемое равно $\log_{90}(\operatorname{tg}(\frac{89\pi}{180}))$, то ни один из логарифмов не равен нулю и не является неопределенным. Без дополнительной информации или уточнения условия, точное вычисление невозможно. Однако, если в цепочке есть множитель, где аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{4}$ (45°), то $\operatorname{tg}(\frac{45\pi}{180}) = 1$, и $\log_n(1) = 0$. Это произошло бы, если бы было $\log_{46}(\operatorname{tg}(\frac{45\pi}{180}))$. Но в данной последовательности такого нет. Если предположить, что это произведение равно 0, то это может быть из-за того, что где-то присутствует $\operatorname{tg}(k \frac{\pi}{2})$ или $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.

2) $lg(\operatorname{tg} 46°) - \frac{1}{2}lg 3 = lg(\operatorname{tg} 46°) - lg(\sqrt{3}) = lg(\frac{\operatorname{tg} 46°}{\sqrt{3}})$

$lg(\operatorname{tg} 47°) - \frac{1}{2}lg 3 = lg(\frac{\operatorname{tg} 47°}{\sqrt{3}})$

... $lg(\operatorname{tg} 89°) - \frac{1}{2}lg 3 = lg(\frac{\operatorname{tg} 89°}{\sqrt{3}})$

Это произведение выражений вида $lg(\frac{\operatorname{tg} k°}{\sqrt{3}})$ для $k=46, 47, ..., 89$. Так как $\operatorname{tg} 45° = 1$, а $\sqrt{3}$ является значением $\operatorname{tg} 60°$, то ни одно из выражений не равно нулю. Без дальнейших упрощений или дополнительных данных, точное значение не может быть найдено.

3) $(1 + \log_2 \sin 1°)(1 + \log_2 \sin 2°)...(1 + \log_2 \sin 89°)$. Если $\sin x = \frac{1}{2}$ (т.е. $x=30°$), то $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, и $1 + (-1) = 0$. Так как $\sin 30° = \frac{1}{2}$, то множитель $(1 + \log_2 \sin 30°)$ равен $1 + \log_2 \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$. Следовательно, всё произведение равно 0.

4) $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in [0; 2\pi]$.

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\implies \alpha = \frac{\pi}{3}$ или $\alpha = \frac{2\pi}{3}$

$\cos \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\implies \beta = \frac{3\pi}{4}$ или $\beta = \frac{5\pi}{4}$

$\operatorname{tg} \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\implies \gamma = \frac{\pi}{6}$ или $\gamma = \frac{7\pi}{6}$

$\operatorname{ctg} \delta = \sqrt{3}$ $\implies \delta = \frac{\pi}{6}$ или $\delta = \frac{7\pi}{6}$

$\sigma = \alpha + \beta + \gamma + \delta$

Для $\sigma_{min}$ берём минимальные значения углов:

$\sigma_{min} = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi + 9\pi + 2\pi + 2\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$

Для $\sigma_{max}$ берём максимальные значения углов:

$\sigma_{max} = \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} = \frac{8\pi + 15\pi + 14\pi + 14\pi}{12} = \frac{51\pi}{12} = \frac{17\pi}{4}$

5) $\frac{\sin 1° \cdot \sin 2° \cdot ... \cdot \sin 90°}{\sin 91° \cdot \sin 92° \cdot ... \cdot \sin 179°}$

Используем свойство $\sin(180° - x) = \sin x$.

$\sin 91° = \sin(180°-89°) = \sin 89°$

$\sin 92° = \sin(180°-88°) = \sin 88°$

... $\sin 179° = \sin(180°-1°) = \sin 1°$

Знаменатель равен $\sin 89° \cdot \sin 88° \cdot ... \cdot \sin 1°$.

Числитель равен $\sin 1° \cdot \sin 2° \cdot ... \cdot \sin 89° \cdot \sin 90°$.

Таким образом, дробь равна $\frac{\sin 1° \cdot ... \cdot \sin 89° \cdot 1}{\sin 89° \cdot ... \cdot \sin 1°} = 1$

6) $\operatorname{tg} 1° \operatorname{tg} 2°... \operatorname{tg} 89°$

Используем свойство $\operatorname{tg}(90°-x) = \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$.

$\operatorname{tg} 89° = \operatorname{tg}(90°-1°) = \operatorname{ctg} 1° = \frac{1}{\operatorname{tg} 1°}$

$\operatorname{tg} 88° = \operatorname{tg}(90°-2°) = \operatorname{ctg} 2° = \frac{1}{\operatorname{tg} 2°}$

... $\operatorname{tg} 46° = \operatorname{tg}(90°-44°) = \operatorname{ctg} 44° = \frac{1}{\operatorname{tg} 44°}$

Произведение можно разбить на пары:

$(\operatorname{tg} 1° \operatorname{tg} 89°) \cdot (\operatorname{tg} 2° \operatorname{tg} 88°) \cdot ... \cdot (\operatorname{tg} 44° \operatorname{tg} 46°) \cdot \operatorname{tg} 45°$

$(1) \cdot (1) \cdot ... \cdot (1) \cdot 1 = 1$

7) $\log_3 (\sqrt{\sin\frac{5\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{5\pi}{2}})$

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin( \pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\cos\frac{5\pi}{2} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

Подставляем значения:

$\log_3 (\sqrt{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) - 0}) = \log_3 (\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) = \log_3 (\sqrt{1}) = \log_3 1 = 0$

Ответ: 1) Невозможно вычислить без дополнительных уточнений; 2) Невозможно вычислить без дополнительных уточнений; 3) 0; 4) $\sigma_{min} = \frac{17\pi}{12}$, $\sigma_{max} = \frac{17\pi}{4}$; 5) 1; 6) 1; 7) 0.