б) В саду 100_q фруктовых деревьев: из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 17_q вишен. Найдите основание q системы счисления, в которой посчитаны деревья.

Переведём числа из системы счисления с основанием q в десятичную:

100_q = q², 33_q = 3q + 3, 22_q = 2q + 2, 16_q = q + 6, 17_q = q + 7.

Общее количество деревьев равно сумме яблонь, груш, слив и вишен:

q² = (3q + 3) + (2q + 2) + (q + 6) + (q + 7) = 7q + 18.

Решим уравнение: q² − 7q − 18 = 0; (q − 9)(q + 2) = 0. Получаем q = 9 или q = −2. Основание системы счисления положительно и должно быть больше наибольшей цифры 7, поэтому подходит только q = 9.

Ответ: q = 9.