б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Решение:

Мы нашли, что \( \sin x = \frac{1}{2} \) или \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

Рассмотрим случаи:

Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Проверим, какие из этих решений попадают в отрезок \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \) (или \( [-3.5\pi; -2\pi] \)).

• Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \):
• Если \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \) (не попадает в отрезок, так как \( -1.83\pi > -3.5\pi \)).
• Если \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \) (попадает в отрезок, так как \( -3.83\pi < -3.5\pi \), но \( -3.83\pi < -2\pi \) — это неверно, \( -23/6 ≈ -3.83 \) и \( -2 \) — это значит \( -23/6 \) не больше \( -2 \), то есть \( -23π/6 < -2π \) ).
• Для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
• Если \( n = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \) (не попадает в отрезок, так как \( -1.17\pi > -2\pi \)).
• Если \( n = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \) (не попадает в отрезок, так как \( -3.17\pi > -3.5\pi \) и \( -3.17\pi < -2\pi \) ).

Давайте проверим более внимательно. Отрезок: \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \)

Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Основные решения: \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).

Добавляем \( 2\pi n \):

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \). Для \( n = -1 \), \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{11\pi}{6} ≈ -1.83\pi \). Не входит в \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \).

Для \( n = -2 \), \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \). \( -\frac{23\pi}{6} ≈ -3.83\pi \). Это значение меньше \( -3.5\pi \), значит, не попадает в отрезок.

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \). Для \( n = -1 \), \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \). \( -\frac{7\pi}{6} ≈ -1.17\pi \). Не входит.

Для \( n = -2 \), \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \). \( -\frac{19\pi}{6} ≈ -3.17\pi \). Это значение меньше \( -2\pi \) но больше \( -3.5\pi \). Входит в отрезок.

Случай 2: \( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Основные решения: \( x = -\frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{7\pi}{6} \).

Добавляем \( 2\pi n \):

\( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \). Для \( n = -1 \), \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \). \( -\frac{13\pi}{6} ≈ -2.17\pi \). Это значение меньше \( -2\pi \) но больше \( -3.5\pi \). Входит в отрезок.

Для \( n = -2 \), \( x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{25\pi}{6} \). \( -\frac{25\pi}{6} ≈ -4.17\pi \). Это значение меньше \( -3.5\pi \), значит, не попадает в отрезок.

\( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \). Для \( n = -1 \), \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). \( -\frac{5\pi}{6} ≈ -0.83\pi \). Не входит.

Для \( n = -2 \), \( x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = \frac{7\pi - 24\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6} \). \( -\frac{17\pi}{6} ≈ -2.83\pi \). Это значение меньше \( -2\pi \) но больше \( -3.5\pi \). Входит в отрезок.

Проверим значения:

• \( -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi \)
• \( -2\pi \)

Корень \( -\frac{19\pi}{6} ≈ -3.17\pi \) входит в отрезок \( [-3.5\pi; -2\pi] \).

Корень \( -\frac{13\pi}{6} ≈ -2.17\pi \) входит в отрезок \( [-3.5\pi; -2\pi] \).

Корень \( -\frac{17\pi}{6} ≈ -2.83\pi \) входит в отрезок \( [-3.5\pi; -2\pi] \).

Ответ: \( -\frac{19\pi}{6}; -\frac{17\pi}{6}; -\frac{13\pi}{6} \).