б) Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АОВ, если угол АСВ равен 53".

Решение:

Угол АОВ является центральным углом, опирающимся на дугу АВ. Угол АСВ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу АВ.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \)

Отсюда, центральный угол равен удвоенному вписанному углу:

\( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \)

\( \angle AOB = 2 \cdot 53^{\circ} \)

\( \angle AOB = 106^{\circ} \)

Ответ: 106°.