3Б. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR - ромб. Найдите длину отрезка PR, если диаметр окружности равен 10√3.

1. Поскольку OPQR - ромб, все его стороны равны. Также OP = OQ = OR как радиусы окружности. 2. Диаметр окружности равен 10√3, следовательно, радиус OR = OP = OQ = (10√3) / 2 = 5√3. 3. Так как OPQR - ромб, то OP = PQ = QR = RO. Значит, OP = PQ = QR = RO = 5√3. 4. Рассмотрим треугольник OPQ. Он равнобедренный, так как OP = OQ. Поскольку OPQR - ромб, OP = PQ, то треугольник OPQ равносторонний, и углы ∠POQ = ∠OPQ = ∠OQP = 60°. 5. Аналогично, треугольник ORQ также равносторонний, и ∠ROQ = ∠ORQ = ∠OQR = 60°. 6. Тогда угол ∠POR = ∠POQ + ∠ROQ = 60° + 60° = 120°. 7. Рассмотрим треугольник POR. OP = OR = 5√3, и ∠POR = 120°. Используем теорему косинусов для нахождения PR: PR² = OP² + OR² - 2 * OP * OR * cos(∠POR) PR² = (5√3)² + (5√3)² - 2 * (5√3) * (5√3) * cos(120°) PR² = 75 + 75 - 2 * 75 * (-1/2) PR² = 150 + 75 = 225 PR = √225 = 15 Ответ: 15