B1 1 MK = x.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойством подобных треугольников. Треугольники MLT и MNK подобны, так как угол M - общий, а углы MLT и MNK прямые.

Запишем отношение сторон подобных треугольников:

$$ \frac{ML}{MN} = \frac{LT}{NK} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{10}{10 + y} = \frac{6}{12} $$

Решим уравнение относительно y:

$$ 10 \cdot 12 = 6 \cdot (10 + y) $$ $$ 120 = 60 + 6y $$ $$ 60 = 6y $$ $$ y = 10 $$

Теперь рассмотрим отношение:

$$ \frac{MT}{MK} = \frac{ML}{MN} $$

Выразим MT и MK через известные значения:

$$ MT = \sqrt{ML^2 + LT^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} $$ $$ MN = ML + LN = 10 + 10 = 20 $$ $$ MK = x = \sqrt{MN^2 + NK^2} = \sqrt{20^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} $$

Подставим значения:

$$ \frac{MT}{MK} = \frac{\sqrt{136}}{x} = \frac{10}{20} $$ $$ \frac{\sqrt{136}}{x} = \frac{1}{2} $$

Решим уравнение относительно x:

$$ x = 2 \sqrt{136} = 2 \sqrt{4 \cdot 34} = 2 \cdot 2 \sqrt{34} = 4 \sqrt{34} $$

Или, используя подобие треугольников:

$$ \frac{ML}{MN} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $$

Следовательно, все стороны треугольника MNK в два раза больше сторон треугольника MLT.

$$ MK = 2 \cdot MT $$ $$ MT = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} $$ $$ MK = 2 \sqrt{136} = 4 \sqrt{34} $$

Однако, другой способ решения, используя подобие треугольников MLT и MNK:

$$ \frac{ML}{MN} = \frac{LT}{NK} = \frac{MT}{MK} $$ $$ MN = ML + LN = 10 + y $$

Из первого равенства уже было найдено, что y = 10, значит MN = 20.

Теперь мы знаем, что треугольник MNK - прямоугольный с катетами MN = 20 и NK = 12. Тогда:

$$ MK = \sqrt{MN^2 + NK^2} = \sqrt{20^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4 \sqrt{34} $$

Таким образом, x = 4√34

Ответ: $$4\sqrt{34}$$