b) 1/(10*11) + 1/(11*12) + 1/(12*13) + 1/(13*14) + 1/(99*100) =

Решение:

Это задача на сумму дробей вида \( \frac{1}{n(n+1)} \).

Воспользуемся формулой разложения дроби на простейшие: \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \).

Применим её к каждому члену суммы:

\( \frac{1}{10 \cdot 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \)

\( \frac{1}{11 \cdot 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \)

\( \frac{1}{12 \cdot 13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13} \)

\( \frac{1}{13 \cdot 14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \)

... (продолжаем до последнего члена)

\( \frac{1}{99 \cdot 100} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \)

Сложим все эти равенства. Обратите внимание, что многие члены сокращаются (это называется «телескопическая сумма»).

\( \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \right) + ... + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \)

В результате останутся только первый и последний члены:

\[ \frac{1}{10} - \frac{1}{100} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{10}{100} - \frac{1}{100} = \frac{9}{100} \]

Ответ: \( \frac{9}{100} \).