B. (4 балла) BD – биссектриса в треугольнике АВС. На прямую BD из точки С опущен перпенди- куляр, основанием которого является точка Н такая, что угол ∠DHC = 90°. Докажите, что пло- щадь треугольника АВН равна половине площади треугольника АВС.

Решение:

• Пусть BD – биссектриса треугольника ABC, а CH – перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую BD, где H – основание перпендикуляра и ∠DHC = 90°.
• Продлим CH до пересечения с AB в точке K. Треугольники CDH и KDH равны по стороне (DH - общая), углу (∠CDH = ∠KDH, так как BD - биссектриса) и углу (∠DHC = ∠DHK = 90°). Отсюда следует, что CD = DK и CH = HK.
• Площадь треугольника BCK равна половине произведения BK на высоту CH, то есть S_BCK = (1/2) * BK * CH.
• Площадь треугольника ACK равна половине произведения AK на высоту HK, то есть S_ACK = (1/2) * AK * HK. Так как CH = HK, то S_ACK = (1/2) * AK * CH.
• Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BCK и ACK, то есть S_ABC = S_BCK + S_ACK = (1/2) * BK * CH + (1/2) * AK * CH = (1/2) * (BK + AK) * CH = (1/2) * AB * CH.
• Площадь треугольника ABH равна половине произведения AB на высоту HL, где L - основание высоты, опущенной из H на AB. Так как CH = HK и HL - высота, то S_ABH = (1/2) * AB * HL = (1/2) * AB * CH / 2 = (1/4) * AB * CH.
• Следовательно, площадь треугольника ABH равна половине площади треугольника ABC, то есть S_ABH = (1/2) * S_ABC.