АЗ. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Чему равна сторона треугольника?

Решение:

Для равностороннего треугольника высота \( h \) связана с радиусом вписанной окружности \( r \) соотношением: \( h = 3r \).

По условию \( r = 4 \) см, следовательно, высота треугольника равна:

\[ h = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см} \]

Высота равностороннего треугольника также связана с его стороной \( a \) формулой:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Выразим сторону \( a \) из этой формулы:

\[ a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \]

Подставим значение высоты \( h = 12 \) см:

\[ a = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: сторона треугольника равна \( 8\sqrt{3} \) см.