АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АВС равен 60°.

Решение:

По условию, АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных из одной точки В к окружности. Следовательно, АВ = ВС. Также радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: \( \angle OAB = \angle OCB = 90^{\circ} \). Радиус окружности \( R = 6 \) см.

Рассмотрим четырёхугольник АВСО. Его периметр равен \( P = AB + BC + CO + OA \). Так как \( OA = OC = R = 6 \) см, то \( P = 2 \cdot AB + 2 \cdot 6 = 2 \cdot AB + 12 \).

В четырёхугольнике АВСО сумма углов равна \( 360^{\circ} \). \( \angle ABC = 60^{\circ} \), \( \angle OAB = 90^{\circ} \), \( \angle OCB = 90^{\circ} \). Значит, \( \angle AOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). Он прямоугольный, \( OA = 6 \). Угол \( \angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \) (так как луч ВО является биссектрисой угла \( \angle ABC \) и \( \angle AOC \)).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAB \) с углом \( 30^{\circ} \) катет \( OA \), противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы \( AB \).

\( OA = AB \cdot \sin(30^{\circ}) \) → \( 6 = AB \cdot \frac{1}{2} \) → \( AB = 12 \) см.

Или, используя тангенс: \( \text{tg}(\angle ABO) = \frac{OA}{AB} \) → \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{6}{AB} \) → \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{AB} \) → \( AB = 6\sqrt{3} \) см.

Примечание: Угол \( \angle ABO = 30^{\circ} \) потому, что \( \triangle ABV \) и \( \triangle CBV \) равны по гипотенузе и острому углу ( \( AB = CB \), \( OB \) - общая гипотенуза, \( \angle OAB = \angle OCB = 90^{\circ} \)), следовательно \( \angle ABO = \angle CBO = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle OAB \):

\( AB = OA / \text{tg}(30^{\circ}) = 6 / (1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \) см.

Теперь найдём периметр: \( P = 2 \cdot AB + 12 = 2 \cdot (6\sqrt{3}) + 12 = 12\sqrt{3} + 12 \) см.

Выберите один ответ:

• a. 15+15√3
• b. 12+12√3
• c. 12+12√5
• d. 10+12√3

Ответ: b. 12+12√3.