АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. АВ = 6, ВО = 12. Чему равен угол АВС?

Решение:

Так как АВ — отрезок касательной, то радиус ОА перпендикулярен касательной в точке касания, следовательно, \( \angle OAB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAB \).

По условию \( AB = 6 \) и \( BO = 12 \).

Найдём синус угла \( \angle AOB \):

\[ \sin(\angle AOB) = \frac{AB}{BO} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Следовательно, \( \angle AOB = 30^{\circ} \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезок ВО делит угол \( \angle ABC \) пополам, то есть \( \angle ABO = \angle CBO \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAB \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \), значит:

\[ \angle ABO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

Так как \( \angle ABC = 2 \cdot \angle ABO \), то:

\[ \angle ABC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

Ответ: 120°.