At what time(s) does the velocity of the particle given by the parametric equations below equal 0 within the first 25 seconds? y = 20 sin(√t) x = 3t

Решение:

Скорость частицы — это вектор, компоненты которого равны производным от координат по времени.

Вычислим производные:

\( v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t) = 3 \)

\( v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(20 \sin(\sqrt{t})) = 20 \cos(\sqrt{t}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{10 \cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \)

Скорость частицы равна 0, если её векторная компонента равна 0. В данном случае, \( v_x = 3 \) — это константа, которая никогда не равна 0. Однако, в вопросе, вероятно, имеется в виду, когда одна из компонент скорости равна 0, или когда скорость как таковая (возможно, имеется в виду одна из компонент) равна 0. Если рассматривать случай, когда \( v_y = 0 \), то:

\( \frac{10 \cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} = 0 \)

Это возможно, если \( \cos(\sqrt{t}) = 0 \) (при условии, что \( t \neq 0 \)).

Косинус равен 0 при \( \sqrt{t} = \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \) — целое число.

Возведём обе части в квадрат:

\( t = \left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right)^2 \)

Рассмотрим значения для \( n = 0, 1, 2, \ldots \) и проверим, попадают ли они в интервал \( [0, 25] \).

• Для \( n=0 \): \( \sqrt{t} = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \) \( t = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \approx (1.5708)^2 \approx 2.467 \)
• Для \( n=1 \): \( \sqrt{t} = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124 \) \( t = \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2 \approx (4.7124)^2 \approx 22.207 \)
• Для \( n=2 \): \( \sqrt{t} = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.854 \) \( t = \left(\frac{5\pi}{2}\right)^2 \approx (7.854)^2 \approx 61.685 \) (Это значение больше 25)

Таким образом, значения \( t \) в пределах первых 25 секунд, при которых \( v_y = 0 \), равны приблизительно \( 2.467 \) и \( 22.207 \).

Ответ: t = 2.467, t = 22.207.