АС касается окружности в точке С, АВ касается окружности в точке В, ∠CAB = 58°. Найдите ∠ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию задачи, AC является касательной к окружности в точке C, а AB — касательной к окружности в точке B. Это означает, что радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. Пусть O — центр окружности. Тогда \( \angle ACO = 90^{\circ} \) и \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник ABOC. Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \). Мы знаем \( \angle CAB = 58^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник BOC. Так как OB и OC — радиусы одной окружности, то \( OB = OC \). Следовательно, треугольник BOC — равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 122^{\circ}}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \).

Мы ищем угол \( \angle ACB \). Мы знаем, что \( \angle ACO = 90^{\circ} \) и \( \angle OCB = 29^{\circ} \).

\( \angle ACB = \angle ACO - \angle OCB = 90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ} \).

Ответ: 61.