Аня загадала четырехзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 391. Какую цифру зачеркнула Аня?

Решение:

Пусть загаданное четырехзначное число будет \(N\). Сумма цифр числа \(N\) обозначим как \(S\).

По условию задачи, \(N - S = X\), где \(X\) — число, полученное после вычитания суммы цифр.

Известно, что число \(X\) делится на 9. Это следует из свойства делимости на 9: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9, следовательно, их разность делится на 9. Таким образом, \(N - S\) всегда делится на 9.

Число 391, полученное после зачеркивания одной цифры из \(X\), близко к \(N - S\). Проверим, делится ли 391 на 9: \(3 + 9 + 1 = 13\). 13 не делится на 9, следовательно, 391 — это результат после зачеркивания цифры.

Пусть зачеркнутая цифра — \(d\). Тогда \(X = 391 + d \cdot 10^k\), где \(k\) — степень десятки, соответствующая позиции зачеркнутой цифры. Так как \(N\) — четырехзначное число, \(X\) будет трехзначным или четырехзначным числом. Мы знаем, что \(N - S\) делится на 9.

Рассмотрим возможные варианты числа \(X\) путем добавления цифры \(d ​ ​ ​ ​(0-9)\) к числу 391:

• Если \(d\) — последняя цифра, то \(X = 39d1\) или \(X = 3d91\) или \(Xd91\).
• Наиболее вероятно, что \(X\) близко к 391. Попробуем варианты, где \(X\) может быть четырехзначным числом, полученным из \(N - S\) путем зачеркивания одной цифры.
• Предположим, что \(X\) — трехзначное число, полученное из \(N - S\) после зачеркивания цифры.
• Свойство: \(N \equiv S \pmod{9}\), следовательно \(N - S \equiv 0 \pmod{9}\).
• Значит, число \(X\) (до зачеркивания) делится на 9.
• Число, полученное после зачеркивания, равно 391.
• Пусть \(X\) = \(abc\) (трехзначное число). \(a+b+c\) делится на 9.
• После зачеркивания одной цифры получили 391.
• Возможные варианты \(X\):
• Если зачеркнута цифра \(a\), то \(bc = 91\). \(X = d91\). \(d+9+1\) должно делиться на 9. \(d+10\) делится на 9. \(d=8\). \(X = 891\). Проверка: \(8+9+1=18\), делится на 9.
• Если зачеркнута цифра \(b\), то \(a1 = 391\) — невозможно.
• Если зачеркнута цифра \(c\), то \(a9 = 391\) — невозможно.
• Возможный вариант \(X = 891\).
• Теперь проверим, может ли \(N-S = 891\).
• \(N\) - четырехзначное, \(S\) - сумма цифр \(N\).
• Максимальная сумма цифр для четырехзначного числа: \(9+9+9+9 = 36\).
• Минимальное четырехзначное число: 1000. \(S_{min} = 1+0+0+0 = 1\).
• \(N = 891 + S\).
• Если \(S=1\), \(N=892\). \(S(892) = 8+9+2 = 19\). \(N-S = 892-19 = 873\). Не 891.
• Если \(S=36\), \(N = 891 + 36 = 927\). Это трехзначное число, что противоречит условию.
• Значит, \(X\) должно быть четырехзначным числом.
• Пусть \(X = abcd\). \(a+b+c+d\) делится на 9.
• После зачеркивания одной цифры получили 391.
• Это означает, что \(X\) является числом, из которого путем зачеркивания одной цифры получается 391.
• Возможные варианты \(X\):
• \(d_1 = 3\), \(d_2 = 9\), \(d_3 = 1\). \(X = 391d\) или \(X = 39d1\) или \(X = 3d91\) или \(X = d391\).
• Перебираем варианты, чтобы \(X\) делилось на 9:
• 1. \(X = 391d\). Сумма цифр \(3+9+1+d = 13+d\) должна делиться на 9. \(d=5\). \(X = 3915\).
• 2. \(X = 39d1\). Сумма цифр \(3+9+d+1 = 13+d\) должна делиться на 9. \(d=5\). \(X = 3951\).
• 3. \(X = 3d91\). Сумма цифр \(3+d+9+1 = 13+d\) должна делиться на 9. \(d=5\). \(X = 3591\).
• 4. \(X = d391\). Сумма цифр \(d+3+9+1 = d+13\) должна делиться на 9. \(d=5\). \(X = 5391\).
• Теперь проверим, существует ли четырехзначное число \(N\) такое, что \(N - S = X\), где \(X\) — одно из полученных чисел (3915, 3951, 3591, 5391) и \(S\) — сумма цифр \(N\).
• \(N = X + S\).
• Возьмем \(X=3915\). \(N = 3915 + S\).
• Если \(S=15\) (например, для числа 3336), \(N = 3915+15 = 3930\). \(S(3930) = 3+9+3+0 = 15\). \(N-S = 3930-15 = 3915\). Это соответствует условию.
• Число \(N = 3930\). Сумма его цифр \(S = 3+9+3+0 = 15\).
• \(N - S = 3930 - 15 = 3915\).
• Из числа 3915 зачеркнули цифру 5, получили 391.
• Таким образом, зачеркнутая цифра — 5.
• Проверим другие варианты \(X\):
• \(X=3951\). \(N = 3951 + S\). Если \(S=15\) (для 3336), \(N = 3951+15 = 3966\). \(S(3966) = 3+9+6+6 = 24\). \(N-S = 3966-24 = 3942\). Не подходит.
• \(X=3591\). \(N = 3591 + S\). Если \(S=15\), \(N=3591+15 = 3606\). \(S(3606) = 3+6+0+6 = 15\). \(N-S = 3606-15 = 3591\). Это соответствует условию.
• Число \(N = 3606\). Сумма его цифр \(S = 3+6+0+6 = 15\).
• \(N - S = 3606 - 15 = 3591\).
• Из числа 3591 зачеркнули цифру 5, получили 391.
• Таким образом, зачеркнутая цифра — 5.
• \(X=5391\). \(N = 5391 + S\). Если \(S=15\), \(N = 5391+15 = 5406\). \(S(5406)=5+4+0+6 = 15\). \(N-S = 5406-15 = 5391\). Это соответствует условию.
• Число \(N = 5406\). Сумма его цифр \(S = 5+4+0+6 = 15\).
• \(N - S = 5406 - 15 = 5391\).
• Из числа 5391 зачеркнули цифру 5, получили 391.
• Таким образом, зачеркнутая цифра — 5.

Во всех случаях, когда \(N-S\) делится на 9 и при зачеркивании одной цифры получается 391, зачеркнутая цифра равна 5.

Проверка:

Пусть загаданное число 3930. Сумма цифр = 3+9+3+0 = 15. Разность = 3930 - 15 = 3915. Зачеркнув 5, получим 391.

Пусть загаданное число 3606. Сумма цифр = 3+6+0+6 = 15. Разность = 3606 - 15 = 3591. Зачеркнув 5, получим 391.

Пусть загаданное число 5406. Сумма цифр = 5+4+0+6 = 15. Разность = 5406 - 15 = 5391. Зачеркнув 5, получим 391.

Обоснование:

Число \(N - S\) всегда делится на 9. Число, полученное после зачеркивания цифры, равно 391. Мы искали такое число \(X\), которое делится на 9, и при зачеркивании одной его цифры получается 391. Такими числами являются 3915, 3951, 3591, 5391. Во всех этих случаях зачеркнутая цифра - 5. Для подтверждения мы показали, что существуют такие четырехзначные числа \(N\), для которых \(N-S\) равно одному из этих чисел.