5. Аня, Ваня и Саня собирали коллекцию скрепышей. При этом количество скрепышей, которые есть и у Ани, и у Вани, оказалось больше, чем количество скрепышей, которые есть у Ани, но нет у Вани. Аналогично, число скрепышей, которые есть и у Вани, и у Сани, оказалось больше, чем число скрепышей, которые есть у Вани, но нет у Сани. А количество Саниных скрепышей, которых нет у Ани, меньше, чем количество скрепышей, которые есть и у Ани и у Сани. Докажите, что хотя-бы один скрепыш встречается в коллекции каждого из ребят.

Ответ: доказано

Обозначим:

• \(A \cap B\) - скрепыши, которые есть и у Ани, и у Вани
• \(A \setminus B\) - скрепыши, которые есть у Ани, но нет у Вани
• \(B \cap C\) - скрепыши, которые есть и у Вани, и у Сани
• \(B \setminus C\) - скрепыши, которые есть у Вани, но нет у Сани
• \(C \setminus A\) - скрепыши, которые есть у Сани, но нет у Ани
• \(A \cap C\) - скрепыши, которые есть и у Ани, и у Сани

Из условия:

• \(|A \cap B| > |A \setminus B|\)
• \(|B \cap C| > |B \setminus C|\)
• \(|C \setminus A| < |A \cap C|\)

Предположим, что нет ни одного скрепыша, который есть у всех трех ребят. Это означает, что \(A \cap B \cap C = \emptyset\).

Так как \(|A \cap B| > |A \setminus B|\), это значит, что у Ани и Вани есть общие скрепыши.

Так как \(|B \cap C| > |B \setminus C|\), это значит, что у Вани и Сани есть общие скрепыши.

Так как \(|C \setminus A| < |A \cap C|\), это значит, что у Сани и Ани есть общие скрепыши.

Поскольку \(|A \cap B| > 0, |B \cap C| > 0, |A \cap C| > 0\), то у каждой пары есть общие скрепыши.

Если у каждой пары есть общие скрепыши, но нет ни одного скрепыша, который есть у всех трех, это противоречит условиям задачи.

Следовательно, наше предположение неверно, и должен существовать хотя бы один скрепыш, который есть в коллекции каждого из ребят.

Ответ: доказано