14. Ане надо подписать 185 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Аня подписала 5 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 10 дней. Ответ: 15. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите гипотенузу этого треугольника. Ответ: 16. Четырёхугольник АBCD вписан в окружность. Угол АВС равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 17. Площадь параллелограмма равна 75, а две его стороны равны 15 и 25. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. Ответ: 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треуголь- ник. Найдите его площадь. Ответ:

14. Пусть $$x$$ — количество открыток, которое Аня подписывала каждый день больше, чем в предыдущий. Тогда количество открыток, подписанных в каждый из 10 дней, можно представить как арифметическую прогрессию с первым членом $$a_1 = 5$$ и разностью $$x$$. Сумма арифметической прогрессии равна: $$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)x)}{2}$$ В нашем случае $$S_{10} = 185$$, $$n = 10$$, $$a_1 = 5$$. Подставим значения: $$185 = \frac{10(2 \cdot 5 + (10-1)x)}{2}$$ $$185 = 5(10 + 9x)$$ $$37 = 10 + 9x$$ $$27 = 9x$$ $$x = 3$$ То есть, каждый день Аня подписывала на 3 открытки больше, чем в предыдущий. Чтобы найти количество открыток, подписанных в седьмой день, используем формулу $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)x$$ Для $$n = 7$$: $$a_7 = 5 + (7-1) \cdot 3$$ $$a_7 = 5 + 6 \cdot 3$$ $$a_7 = 5 + 18$$ $$a_7 = 23$$ Ответ: 23 15. По теореме Пифагора, гипотенуза $$c$$ прямоугольного треугольника с катетами $$a = 15$$ и $$b = 8$$ равна: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$c = \sqrt{15^2 + 8^2}$$ $$c = \sqrt{225 + 64}$$ $$c = \sqrt{289}$$ $$c = 17$$ Ответ: 17 16. Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Угол $$CAD$$ опирается на дугу $$CD$$, значит, дуга $$CD$$ равна $$2 \cdot 80\text{\deg} = 160\text{\deg}$$. Так как четырехугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна $$180\text{\deg}$$. Значит, $$\angle ADC = 180\text{\deg} - \angle ABC = 180\text{\deg} - 132\text{\deg} = 48\text{\deg}$$. Угол $$ACD$$ опирается на дугу $$AD$$, градусная мера которой равна $$360\text{\deg} - 160\text{\deg} - дуга AB - дуга BC$$. Угол $$ABC = 132\text{\deg}$$ опирается на дугу $$ADC$$, значит дуга $$ADC = 2 \cdot 132\text{\deg} = 264\text{\deg}$$. $$264\text{\deg} = дуга AD + дуга DC$$, тогда дуга AD $$= 264\text{\deg} - 160\text{\deg} = 104\text{\deg}$$. Значит $$\angle ACD = 104\text{\deg} / 2 = 52\text{\deg}$$. Тогда $$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 80\text{\deg} + 52\text{\deg} + 48\text{\deg} = 180\text{\deg}$$. $$\angle ABD = \angle ACD = 52\text{\deg}$$ так как опираются на одну и ту же дугу $$AD$$. Ответ: 52 17. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть $$h_1$$ — высота, проведенная к стороне 15, а $$h_2$$ — высота, проведенная к стороне 25. Тогда: $$75 = 15 \cdot h_1$$ и $$75 = 25 \cdot h_2$$ $$h_1 = 75 / 15 = 5$$ $$h_2 = 75 / 25 = 3$$ Большая высота равна 5. Ответ: 5 18. Площадь треугольника на клетчатой бумаге можно найти по формуле Пика: $$S = В + Г/2 - 1$$, где $$В$$ — количество внутренних узлов, а $$Г$$ — количество граничных узлов. В данном случае $$В = 1$$, $$Г = 6$$. Тогда $$S = 1 + 6/2 - 1 = 1 + 3 - 1 = 3$$. Ответ: 3