Андрей вышел из пункта А в 10:18 и, двигаясь с постоянной скоростью, пришёл в пункт Б в 13:30. Тот же день Борис вышел из Б в 9:00 и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришёл в А в 11:40. Дорога пересекает реку. Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?

Решение:

1. Рассчитаем время в пути каждого:
   Андрей: с 10:18 до 13:30. Время в пути = 3 часа 12 минут = 192 минуты.
   Борис: с 9:00 до 11:40. Время в пути = 2 часа 40 минут = 160 минут.
2. Обозначим:
   S — расстояние между А и Б.
   v_А — скорость Андрея.
   v_Б — скорость Бориса.
   t_мост — время, когда они подошли к мосту (с момента начала движения первого из них, т.е. с 9:00).
3. Найдем скорости:
   \( v_A = \frac{S}{192} \) (км/мин)
   \( v_Б = \frac{S}{160} \) (км/мин)
4. Определим положение моста:
   Пусть мост находится на расстоянии x от пункта А. Тогда расстояние от моста до пункта Б равно S - x.
   Андрей подошёл к мосту через t_мост минут после 10:18. То есть, если t_А — время движения Андрея до моста, то t_А = t_мост - (10:18 - 9:00) = t_мост - 78 минут.
   \( x = v_A | t_A = \frac{S}{192} | (t_{мост} - 78) \).
   Борис подошёл к мосту через t_мост минут после 9:00. То есть, если t_Б — время движения Бориса до моста, то t_Б = t_мост.
   \( S - x = v_Б | t_Б = \frac{S}{160} | t_{мост} \).
5. Используем условие одновременного подхода к мосту:
   Андрей и Борис одновременно подошли к мосту. Это означает, что время, прошедшее от начала их движения до момента подхода к мосту, является одним и тем же.
   Пусть t — время в минутах от 9:00.
   Андрей начал движение в 10:18, т.е. через 78 минут после 9:00. Время его движения до моста = t - 78.
   Борис начал движение в 9:00. Время его движения до моста = t.
   Расстояние, пройденное Андреем до моста: \( x_A = v_A | (t-78) = \frac{S}{192} | (t-78) \).
   Расстояние, пройденное Борисом до моста: \( x_Б = v_Б | t = \frac{S}{160} | t \).
6. Составим уравнение, зная, что мост находится на одинаковом расстоянии от А для Андрея и от Б для Бориса (т.е. x_A + x_Б = S):
   \( \frac{S}{192} | (t-78) + \frac{S}{160} | t = S \).
   Разделим обе части на S:
   \( \frac{t-78}{192} + \frac{t}{160} = 1 \).
7. Решим уравнение для t:
   Общий знаменатель для 192 и 160. \( 192 = 64 | 3 = 2^6 | 3 \), \( 160 = 32 | 5 = 2^5 | 5 \). НОК = \( 2^6 | 3 | 5 = 64 | 15 = 960 \).
   \( \frac{5(t-78)}{960} + \frac{6t}{960} = \frac{960}{960} \).
   \( 5t - 390 + 6t = 960 \).
   \( 11t = 960 + 390 \).
   \( 11t = 1350 \).
   \( t = \frac{1350}{11} \) минут.
8. Условие про уход с моста:
   Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса. Это означает, что время, проведенное каждым на мосту, различается на 1 минуту. Но они подошли одновременно.
   Это условие, скорее всего, относится к тому, сколько времени они провели на мосту, а не к времени подхода. Если они подошли одновременно, то условие "Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса" означает, что Борис прошёл мост быстрее, чем Андрей, или наоборот, что они провели разное время на мосту. Но так как они подошли одновременно, это не влияет на момент подхода.
9. Время подхода к мосту:
   \( t = \frac{1350}{11} \) минут от 9:00.
   \( t \approx 122.73 \) минуты.
   \( 122.73 | 60 \approx 2 | 2.73 \).
   \( 122 | 60 = 2 | 2 \).
   \( 1350 | 11 = 122 | 8/11 \).
   122 минуты = 2 часа 2 минуты.
   Время подхода к мосту = 9:00 + 2 часа 2 минуты и 8/11 минуты.
   \( 9:00 + 2 \text{ ч } 2 \frac{8}{11} \text{ мин} = 11 \text{ ч } 2 \frac{8}{11} \text{ мин} \).
10. Проверка условия про уход с моста:
    Время, проведенное Андреем на мосту (стоял, пока не ушел): \( \frac{S}{192} \) (скорость Андрея).
    Время, проведенное Борисом на мосту: \( \frac{S}{160} \).
    Если Андрей ушел на минуту позже, то он задержался на мосту на минуту дольше, чем Борис. Это означает, что \( \frac{S}{192} = \frac{S}{160} + 1 \) или \( \frac{S}{160} = \frac{S}{192} + 1 \).
    \( S(\frac{1}{160} - \frac{1}{192}) = 1 \)
    \( S(\frac{192-160}{160 | 192}) = 1 \)
    \( S(\frac{32}{30720}) = 1 \)
    \( S = \frac{30720}{32} = 960 \) км.
    Если \( S=960 \), то \( v_A = 960/192 = 5 \) км/мин, \( v_Б = 960/160 = 6 \) км/мин.
    Теперь найдем время подхода к мосту.
    \( \frac{t-78}{192} + \frac{t}{160} = 1 \) (где t - время от 9:00)
    \( \frac{t-78}{5} + \frac{t}{6} = 1 \) (уже в км и минутах, S=960)
    \( \frac{6(t-78) + 5t}{30} = 1 \)
    \( 6t - 468 + 5t = 30 \)
    \( 11t = 30 + 468 \)
    \( 11t = 498 \)
    \( t = \frac{498}{11} \) минут.
    \( t = 45 \frac{3}{11} \) минуты.
    Время подхода к мосту = 9:00 + 45 и 3/11 минут = 9:45 и 3/11 минут.
11. Проверим условие ухода:
    Андрей подошел к мосту в 10:18 + (45 и 3/11 - 78) = 10:18 + (-32 и 8/11) = 9:45 и 3/11.
    Борис подошел к мосту в 9:00 + 45 и 3/11 = 9:45 и 3/11.
    Они подошли одновременно.
12. Время, проведенное на мосту:
    Борис: \( t_Б = 45 \frac{3}{11} \) мин.
    Андрей: \( t_A = 45 \frac{3}{11} - 78 \) (двигался до моста).
    Время, которое они провели на мосту, это время, которое они начали движение до момента ухода с моста.
13. Переформулируем условие:
    "Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса" означает, что время, которое они провели, проходя мост, различаются на 1 минуту. Так как они подошли одновременно, то время, которое они начали движение от моста, различается на 1 минуту.
14. Пусть t_моста - время подхода к мосту (от 9:00).
    Время, которое Борис двигался до моста: \( t_моста \).
    Время, которое Андрей двигался до моста: \( t_моста - 78 \).
    Время, которое Борис потратил на пересечение моста (неизвестно, но оно должно быть меньше, чем у Андрея, т.к. Борис ушел раньше).
    Время, которое Андрей потратил на пересечение моста.
    Рассмотрим другое условие:
    "Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса." Это значит, что если Борис ушёл в момент T, то Андрей ушёл в момент T+1.
    Время, когда Борис покинул мост: \( T_Б = 9:00 + t_{моста} + \text{время перехода моста Борисом} \).
    Время, когда Андрей покинул мост: \( T_А = 10:18 + (t_{моста} - 78) + \text{время перехода моста Андреем} \).
    \( T_A = T_Б + 1 \).
    Пусть расстояние моста = m.
    Время перехода моста Борисом: \( m/v_Б \).
    Время перехода моста Андреем: \( m/v_A \).
    \( 10:18 + (t_{моста} - 78) + m/v_A = 9:00 + t_{моста} + m/v_Б + 1 \).
    \( 10:18 - 9:00 - 78 + m/v_A = m/v_Б + 1 \).
    \( 1 \text{ ч } 18 \text{ мин} - 78 \text{ мин} + m/v_A = m/v_Б + 1 \).
    \( 78 \text{ мин} - 78 \text{ мин} + m/v_A = m/v_Б + 1 \).
    \( m/v_A = m/v_Б + 1 \).
    \( m (\frac{1}{v_A} - \frac{1}{v_Б}) = 1 \).
    \( m (\frac{1}{S/192} - \frac{1}{S/160}) = 1 \).
    \( m (\frac{192}{S} - \frac{160}{S}) = 1 \).
    \( m \frac{32}{S} = 1 \).
    \( m = \frac{S}{32} \).
    Итак, длина моста равна \( \frac{S}{32} \).
    Теперь вернемся к уравнению подхода к мосту: \( \frac{t-78}{192} + \frac{t}{160} = 1 \).
    \( t = \frac{1350}{11} \) минут.
    Время подхода к мосту = 9:00 + \( \frac{1350}{11} \) минут.
    \( \frac{1350}{11} = 122 \frac{8}{11} \) минут.
    122 минуты = 2 часа 2 минуты.
    Время подхода = 9:00 + 2 часа 2 минуты и \( \frac{8}{11} \) минуты = 11:02 и \( \frac{8}{11} \) минуты.

Ответ: Они подошли к мосту в 11 часов 2 целых и 8/11 минуты.