(Аналог реального ОГЭ 2022) Постройте график функции y = (x²-6x+10 если х≥ 1, (x + 2 если х < 1. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: при m = 5 и m > 3

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции
• Задана кусочно-непрерывная функция:
• \( y = x^2 - 6x + 10 \) при \( x \ge 1 \) (парабола)
• \( y = x + 2 \) при \( x < 1 \) (прямая)
• Шаг 2: Исследование параболы \( y = x^2 - 6x + 10 \)
• Найдем вершину параболы:
• \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)
• \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \)
• Вершина параболы: (3, 1)
• Так как рассматриваем параболу только при \( x \ge 1 \), вершина входит в рассматриваемую область.
• Шаг 3: Исследование прямой \( y = x + 2 \)
• Прямая \( y = x + 2 \) определена при \( x < 1 \).
• Найдем значение функции при \( x = 1 \) (не включая эту точку):
• \( y = 1 + 2 = 3 \)
• Шаг 4: Анализ пересечений с прямой \( y = m \)
• Прямая \( y = m \) должна иметь ровно две общие точки с графиком функции.
• Если \( m = 1 \), то прямая касается параболы в вершине (одна точка) и не пересекает прямую \( y = x + 2 \) (нет точек), что не удовлетворяет условию.
• Если \( m = 3 \), то прямая пересекает параболу в двух точках (кроме вершины) и проходит через точку (1, 3) на прямой \( y = x + 2 \), но эта точка не включена в график (одна точка). Таким образом, будет только одна общая точка с параболой и одна предельная точка на прямой, что не удовлетворяет условию.
• Прямая y=5 имеет две общие точки с графиком функции.
• Две точки пересечения:
• Прямая должна пересекать параболу в двух точках (кроме вершины). Это возможно, если \( m > 1 \).
• Прямая должна пересекать прямую \( y = x + 2 \). Это возможно при любом \( m \).
• Таким образом, должно выполняться условие \( m > 3 \).

Ответ: при m = 5 и m > 3