(Аналог реального ОГЭ 2022) Постройте график функции Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 4 и m = 3

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции
• Рассмотрим функцию по частям:

• \( y = x^2 - 6x + 10 \) при \( x \geq 1 \)
• Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы:
• \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \)
• Вершина параболы (3, 1). Так как \( x \geq 1 \), нас интересует часть параболы справа от точки x = 1.

• \( y = x + 2 \) при \( x < 1 \)
• Это прямая линия. При x = 1, y = 1 + 2 = 3. Но так как x < 1, точка (1, 3) не включена в график.

• Шаг 2: Построение графика (описание)
• График состоит из двух частей:

• Часть параболы \( y = x^2 - 6x + 10 \) для \( x \geq 1 \). Вершина параболы (3, 1). При x = 1, y = 1 - 6 + 10 = 5.
• Прямая \( y = x + 2 \) для \( x < 1 \). При x = 1, y = 3 (точка не включена).

• Шаг 3: Анализ пересечений прямой y = m с графиком
• Рассмотрим горизонтальные прямые \( y = m \) и определим, при каких значениях m они пересекают график ровно в двух точках.

• Если \( m = 1 \), прямая касается параболы в её вершине (одна точка).
• Если \( 1 < m < 3 \), прямая пересекает параболу в двух точках, а прямую \( y = x + 2 \) не пересекает.
• Если \( m = 3 \), прямая проходит через точку (1, 3), которая не включена в график прямой, и пересекает параболу в одной точке (всего одна точка).
• Если \( m = 5 \), прямая проходит через точку (1, 5) на параболе и не пересекает прямую \( y = x + 2 \). (одна точка).
• Если \( m > 5 \), прямая пересекает параболу в одной точке.
• Если \( m = 4 \), прямая пересекает параболу и прямую. (две точки).

• Шаг 4: Нахождение нужных значений m
• Горизонтальная прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, если:

• Прямая проходит через точку (1,5), т.е. m = 5 - один корень
• Прямая касается параболы в вершине (3,1), т.е. m = 1 - один корень.

Следовательно, m = 4 (одна точка на параболе и одна на прямой) и m = 3 (парабола, а прямая в выколотой точке)

Ответ: m = 4 и m = 3