АН — высота прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла А. СН = 8 см, Ан = 12 см. Найдите длину стороны ВС. Примечание: для выполнения задания необходимо воспользоваться утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два подобных друг другу треугольника (без доказательства).

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота AH, проведенная из вершины прямого угла A, делит гипотенузу BC на отрезки BH и CH. По условию, CH = 8 см и AH = 12 см.

Согласно свойству высоты прямоугольного треугольника, высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. То есть, $$AH^2 = BH · CH$$.

• Подставим известные значения: $$12^2 = BH · 8$$.
• $$144 = BH · 8$$.
• Найдем BH: $$BH = \frac{144}{8} = 18$$ см.

Длина гипотенузы BC равна сумме отрезков BH и CH:

• $$BC = BH + CH$$.
• $$BC = 18 + 8 = 26$$ см.

Финальный ответ:

Ответ: 26 см