АМ и ВК — биссектрисы, АМ = ВК, АВ = 6 см, ВС = 9 см. Найдите периметр ДАВС.

Решение:

Дан треугольник \( \triangle ABC \). \( AM \) и \( BK \) — биссектрисы. Известно, что \( AM = BK \), \( AB = 6 \) см, \( BC = 9 \) см.

Свойство: Если в треугольнике равны две биссектрисы, то треугольник равнобедренный.

Так как \( AM = BK \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Возможны два случая:

1. Случай 1: \( AB = BC \). В этом случае \( 6 \) см = \( 9 \) см, что невозможно.
2. Случай 2: \( AB = AC \). В этом случае \( AC = 6 \) см.
3. Случай 3: \( BC = AC \). В этом случае \( AC = 9 \) см.

Если \( AB = AC \), то \( AC = 6 \) см. Периметр \( \triangle ABC = AB + BC + AC = 6 + 9 + 6 = 21 \) см.

Если \( BC = AC \), то \( AC = 9 \) см. Периметр \( \triangle ABC = AB + BC + AC = 6 + 9 + 9 = 24 \) см.

Однако, есть теорема, утверждающая, что в треугольнике равны только две биссектрисы, проведенные к равным сторонам. Поскольку \( AM \) и \( BK \) — биссектрисы, и \( AM = BK \), то стороны, к которым они проведены, должны быть равны. Биссектриса \( AM \) проведена к стороне \( BC \), а биссектриса \( BK \) — к стороне \( AC \). Следовательно, \( BC = AC \).

Так как \( BC = 9 \) см, то \( AC = 9 \) см.

Периметр \( \triangle ABC = AB + BC + AC \)

\[ P = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} + 9 \text{ см} = 24 \text{ см} \]

Ответ: 24 см.