20. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства Блок 1. ФИПИ Примеры прототипов Пример 1. Найдите значение выражения 28a-7b+13, если Пример 2. Решите уравнение: 1) x3+5x2-16x-80=0; 2) x³+8x2=x+8;

Ответ: 55

Пример 1. Найдите значение выражения 28a-7b+13, если \[\frac{2a-5b+8}{5a-2b+8} = 6\]

Решение:

Преобразуем данное выражение:

\[\frac{2a-5b+8}{5a-2b+8} = 6\]

\[2a - 5b + 8 = 6(5a - 2b + 8)\]

\[2a - 5b + 8 = 30a - 12b + 48\]

\[0 = 28a - 7b + 40\]

\[28a - 7b = -40\]

Теперь найдем значение выражения 28a-7b+13:

\[28a - 7b + 13 = -40 + 13\]

\[28a - 7b + 13 = -27\]

Таким образом, значение выражения равно -27.

Проверка:

Выражение, которое нам нужно найти, это 28a - 7b + 13

Мы знаем, что 28a - 7b = -40

Подставляем это значение в исходное выражение:

-40 + 13 = -27

Теперь проверим уравнение:

\[\frac{2a-5b+8}{5a-2b+8} = 6\]

Мы знаем, что 28a - 7b = -40, выразим это через a и b

\[28a = 7b - 40\]

\[a = \frac{7b - 40}{28}\]

Подставим это в уравнение с дробью:

\[\frac{2(\frac{7b - 40}{28}) - 5b + 8}{5(\frac{7b - 40}{28}) - 2b + 8} = 6\]

\[\frac{\frac{7b - 40}{14} - 5b + 8}{\frac{35b - 200}{28} - 2b + 8} = 6\]

\[\frac{\frac{7b - 40 - 70b + 112}{14}}{\frac{35b - 200 - 56b + 224}{28}} = 6\]

\[\frac{\frac{-63b + 72}{14}}{\frac{-21b + 24}{28}} = 6\]

\[\frac{-63b + 72}{14} \cdot \frac{28}{-21b + 24} = 6\]

\[\frac{-63b + 72}{-21b + 24} \cdot 2 = 6\]

\[\frac{-63b + 72}{-21b + 24} = 3\]

\[-63b + 72 = 3(-21b + 24)\]

\[-63b + 72 = -63b + 72\]

Так как это верно, то мы можем использовать наше значение 28a - 7b = -40

Подставляем это в 28a - 7b + 13:

-40 + 13 = -27

Ответ: -27

---

Пример 2. Решите уравнение:

1) x³ + 5x² - 16x - 80 = 0

Решение:

Группируем члены:

(x³ + 5x²) + (-16x - 80) = 0

Выносим общий множитель из каждой группы:

x²(x + 5) - 16(x + 5) = 0

Выносим общий множитель (x + 5):

(x + 5)(x² - 16) = 0

Раскладываем x² - 16 как разность квадратов:

(x + 5)(x - 4)(x + 4) = 0

Теперь находим корни:

x + 5 = 0 или x - 4 = 0 или x + 4 = 0

x = -5, x = 4, x = -4

Ответ: x = -5, x = 4, x = -4

---

2) x³ + 8x² = x + 8

Решение:

Перенесем все в левую часть:

x³ + 8x² - x - 8 = 0

Сгруппируем члены:

(x³ + 8x²) + (-x - 8) = 0

Вынесем общий множитель из каждой группы:

x²(x + 8) - 1(x + 8) = 0

Вынесем общий множитель (x + 8):

(x + 8)(x² - 1) = 0

Раскладываем x² - 1 как разность квадратов:

(x + 8)(x - 1)(x + 1) = 0

Теперь находим корни:

x + 8 = 0 или x - 1 = 0 или x + 1 = 0

x = -8, x = 1, x = -1

Ответ: x = -8, x = 1, x = -1

Ответ: x = -8, x = 1, x = -1

Ответ: x = -8, x = 1, x = -1