Алгебра 7 класс (Макарычев) Контрольная № 8. Вариант 1 Тема работы «Преобразование целых выражений» Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x7)2x(3x-5); б) 4а(а - 2) - (a-4)²; в) 2(m + 1)²-4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; б) -5a²-10ab - 562. 3. Упростите выражение (y2-2y)2y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у²-у. 5. Докажите, что выражение х²-4х + 9 при любых зна-чениях х принимает положительные значения.

Вариант 1

Задание 1. Упростите выражение:

1. a) (x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5)

Логика такая:

\[(x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5) = x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 - 10x + 21\]

Ответ: \[-5x^2 - 10x + 21\]

2. б) 4a(a - 2) - (a - 4)²

Разбираемся:

\[4a(a - 2) - (a - 4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16\]

Ответ: \[3a^2 - 16\]

3. в) 2(m + 1)² - 4m

Смотри, как это работает:

\[2(m + 1)^2 - 4m = 2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2\]

Ответ: \[2m^2 + 2\]

Задание 2. Разложите на множители:

1. a) x³ - 9x

Смотри, тут всё просто:

\[x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)\]

Ответ: \[x(x - 3)(x + 3)\]

2. б) -5a² - 10ab - 5b²

Логика такая:

\[-5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2\]

Ответ: \[-5(a + b)^2\]

Задание 3. Упростите выражение:

\[(y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5)\]

Разбираемся:

\[(y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = 13y^2 + 10y\]

Ответ: \[13y^2 + 10y\]

Задание 4. Разложите на множители:

1. a) 16x⁴ - 81

Смотри, как это работает:

\[16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

Ответ: \[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

2. б) x² - x - y² - y

Смотри, тут всё просто:

\[x^2 - x - y^2 - y = (x^2 - y^2) - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1)\]

Ответ: \[(x + y)(x - y - 1)\]

Задание 5. Докажите, что выражение x² - 4x + 9 при любых значениях x принимает положительные значения.

Логика такая:

\[x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5\]

Т.к. \[(x - 2)^2\] всегда неотрицательно, а 5 > 0, то \[(x - 2)^2 + 5\] всегда положительно.

Ответ: Выражение \[x^2 - 4x + 9\] всегда принимает положительные значения.