Алгебра 7 класс (Макарычев) Контрольная № 8. Вариант 1 Тема работы «Преобразование целых выражений»

Задание 1: Упростите выражение

1. а) \[(x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5)\]

   Показать решение

   Раскрываем скобки и упрощаем:

   \[x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 + 21\]

   Ответ: \[-5x^2 + 21\]

2. б) \[4a(a - 2) - (a - 4)^2\]

   Показать решение

   Раскрываем скобки и упрощаем:

   \[4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16\]

   Ответ: \[3a^2 - 16\]

3. в) \[2(m + 1)^2 - 4m\]

   Показать решение

   Раскрываем скобки и упрощаем:

   \[2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2\]

   Ответ: \[2m^2 + 2\]

Задание 2: Разложите на множители

1. а) \[x^3 - 9x\]

   Показать решение

   Выносим общий множитель за скобки:

   \[x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)\]

   Ответ: \[x(x - 3)(x + 3)\]

2. б) \[-5a^2 - 10ab - 5b^2\]

   Показать решение

   Выносим общий множитель за скобки:

   \[-5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2\]

   Ответ: \[-5(a + b)^2\]

Задание 3: Упростите выражение

\[(y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5)\]

Ответ: \[13y^2 + 10y\]

Задание 4: Разложите на множители

1. а) \[16x^4 - 81\]

   Показать решение

   Применяем формулу разности квадратов:

   \[(4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

   Ответ: \[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

2. б) \[x^2 - x - y^2 - y\]

   Показать решение

   Группируем и выносим общий множитель:

   \[(x^2 - y^2) - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1)\]

   Ответ: \[(x + y)(x - y - 1)\]

Задание 5: Докажите, что выражение \[x^2 - 4x + 9\] при любых значениях x принимает положительные значения.

Ответ: Выражение \[x^2 - 4x + 9\] всегда принимает положительные значения.