A-8 Контрольная работа № 6 Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) б) 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на об- ратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из пункта А в пункт В. С какой ско- ростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

Ответ: а) x = 6; б) x = 5

1. Решите уравнение:

а) \[\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9};\]

Логика такая:

• ОДЗ: \[x^2 - 9
  eq 0 \Rightarrow x
  eq \pm 3\]
• Умножаем обе части уравнения на \[x^2-9\]:
• \[x^2 = 12 - x\]
• Переносим все в левую часть:
• \[x^2 + x - 12 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]
• \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\]
• \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]
• Но \[x = 3\] не входит в ОДЗ, поэтому остается только \[x = -4\]

б) \[\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3;\]

Разбираемся:

• ОДЗ: \[x
  eq 2, x
  eq 0\]
• Приводим дроби к общему знаменателю:
• \[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]
• \[\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3\]
• \[\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3\]
• Умножаем обе части уравнения на \[x^2 - 2x\]:
• \[11x - 10 = 3(x^2 - 2x)\]
• \[11x - 10 = 3x^2 - 6x\]
• Переносим все в правую часть:
• \[3x^2 - 17x + 10 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\]
• \[x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = 5\]
• \[x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{2}{3}\]
• Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: а) x = 6; б) x = 5