Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим:
- A — событие, что яйцо принадлежит первому хозяйству.
- B — событие, что яйцо принадлежит второму хозяйству.
- C — событие, что яйцо является яйцом высшей категории.
По условию задачи дано:
- P(C|A) = 0.40 (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из первого хозяйства)
- P(C|B) = 0.20 (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из второго хозяйства)
- P(C) = 0.35 (общая вероятность того, что яйцо высшей категории)
Мы предполагаем, что яйца закупаются в равных долях из двух хозяйств, то есть:
- P(A) = 0.50
- P(B) = 0.50
Нам нужно найти вероятность того, что яйцо окажется из первого хозяйства, при условии, что оно высшей категории, то есть P(A|C).
Используем формулу Байеса:
\[ P(A|C) = \frac{P(C|A) P(A)}{P(C)} \]Подставим известные значения:
\[ P(A|C) = \frac{0.40 \cdot 0.50}{0.35} \]Сначала вычислим числитель:
\[ 0.40 \cdot 0.50 = 0.20 \]Теперь выполним деление:
\[ P(A|C) = \frac{0.20}{0.35} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7} \]Чтобы проверить, можно вычислить P(B|C) и убедиться, что P(A|C) + P(B|C) = 1.
\[ P(B|C) = \frac{P(C|B) P(B)}{P(C)} = \frac{0.20 \cdot 0.50}{0.35} = \frac{0.10}{0.35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} \]Проверка:
\[ \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \]Ошибка в рассуждениях. Вероятность P(C) = 0.35 дана как ОБЩАЯ вероятность.
Давайте пересчитаем P(C) по формуле полной вероятности:
\[ P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) \]Если доля яиц из первого хозяйства равна \( p \), то из второго — \( 1-p \).
Пусть \( P(A) = p \) и \( P(B) = 1-p \).
Тогда:
\[ P(C) = 0.40 \cdot p + 0.20 \cdot (1-p) \]Мы знаем, что \( P(C) = 0.35 \). Значит:
\[ 0.35 = 0.40p + 0.20 - 0.20p \]\( 0.35 = 0.20p + 0.20 \)
\[ 0.15 = 0.20p \]\( p = \frac{0.15}{0.20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \)
Итак, \( P(A) = \frac{3}{4} = 0.75 \) и \( P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \).
Теперь найдем вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, при условии, что оно высшей категории (P(A|C)):
\[ P(A|C) = \frac{P(C|A) P(A)}{P(C)} \]Подставим найденные значения:
\[ P(A|C) = \frac{0.40 \cdot 0.75}{0.35} \]Вычислим числитель:
\[ 0.40 \cdot 0.75 = 0.30 \]Теперь выполним деление:
\[ P(A|C) = \frac{0.30}{0.35} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} \] }e