4. AD — биссектриса треугольника АВС. Через D проведена прямая, параллельная АВ, пересекающая АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 90°.

Ответ: ∠ADF = 45°, ∠DAF = 45°, ∠AFD = 90°

Решение:

• Поскольку \( AD \) — биссектриса угла \( BAC \), то она делит угол \( BAC \) пополам. Угол \( BAC = 90^\circ \), следовательно: \[\angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\]
• Так как прямая \( DF \) параллельна стороне \( AB \), то угол \( ADF \) равен углу \( DAB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( DF \) и секущей \( AD \). Следовательно: \[\angle ADF = \angle DAB = 45^\circ\]
• Теперь найдем угол \( AFD \) в треугольнике \( ADF \). Сумма углов в треугольнике равна 180°: \[\angle ADF + \angle DAF + \angle AFD = 180^\circ\]
• Подставляем известные значения углов: \[45^\circ + 45^\circ + \angle AFD = 180^\circ\] \[90^\circ + \angle AFD = 180^\circ\]
• Выражаем угол \( AFD \): \[\angle AFD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\]
• Таким образом, углы треугольника \( ADF \) равны:
• \(\angle ADF = 45^\circ\)
• \(\angle DAF = 45^\circ\)
• \(\angle AFD = 90^\circ\)

Ответ: ∠ADF = 45°, ∠DAF = 45°, ∠AFD = 90°