AC = BC P2 - P1 = 2 AC, BC - ? [asy] unitsize(1cm); draw((0,0)--(4,0)--(2,3)--cycle); draw((2,3)--(2,0)); label("C", (2,3), N); label("A", (0,0), SW); label("B", (4,0), SE); label("D", (2,0), S); label("P1", (1,1.5), W); label("P2", (3,1.5), E); label("8", (2,0), S);[/asy]

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AC = BC \). Точка \( D \) находится на стороне \( AB \). \( CD \) — медиана, так как \( D \) — середина \( AB \) (в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой).

\( P_1 \) и \( P_2 \) — это, вероятно, периметры треугольников \( ADC \) и \( BDC \) соответственно. Однако, \( CD \) является общей стороной для \( Δ ADC \) и \( Δ BDC \).

Периметр \( Δ ADC \): \( P_1 = AC + AD + CD \)

Периметр \( Δ BDC \): \( P_2 = BC + BD + CD \)

По условию \( AC = BC \) и \( AD = BD \) (так как \( CD \) — медиана).

Тогда \( P_1 = AC + AD + CD \) и \( P_2 = AC + AD + CD \).

Следовательно, \( P_1 = P_2 \).

Но в условии дано, что \( P_2 - P_1 = 2 \).

Это означает, что \( P_1 \) и \( P_2 \) не могут быть периметрами треугольников \( ADC \) и \( BDC \) при данных условиях.

Предположим, \( P_1 \) и \( P_2 \) — это длины отрезков, на которые делится сторона \( AC \) и \( BC \) точкой \( D \) (что нелогично, так как \( D \) на \( AB \)).

Возможно, \( P_1 \) и \( P_2 \) — это длины отрезков \( CD \) и \( AD \) (или \( BD \)) соответственно, что тоже не соответствует обозначениям.

Пересмотрим условие. Если \( P_1 \) и \( P_2 \) — это длины сторон, например, \( CD \) и \( AB \) или их части. Но \( D \) находится на \( AB \), а \( CD \) — отрезок. \( P_2 \) — \( BD \) и \( P_1 \) — \( AD \)? Но \( AD = BD \).

Если \( P_1 \) и \( P_2 \) — это длины сторон \( AD \) и \( CD \) (или \( BD \) и \( CD \)), то \( P_2 - P_1 = 2 \).

Из рисунка видно, что \( AB = 8 \). Так как \( D \) — середина \( AB \), то \( AD = BD = 8/2 = 4 \).

Если \( P_1 = AD \) и \( P_2 = CD \), то \( CD - AD = 2 \) → \( CD - 4 = 2 \) → \( CD = 6 \).

В равнобедренном \( Δ ABC \) с основанием \( AB \) и медианой \( CD \), \( CD \) является высотой, значит \( Δ CDB \) — прямоугольный треугольник с катетами \( CD \) и \( BD \) и гипотенузой \( BC \).

По теореме Пифагора: \( BC^2 = CD^2 + BD^2 \)

\( BC^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \)

\( BC = √{52} = √{4 \times 13} = 2√{13} \).

Так как \( AC = BC \), то \( AC = 2√{13} \).

Проверим условие \( P_2 - P_1 = 2 \) с этой интерпретацией: \( CD - AD = 6 - 4 = 2 \). Это соответствует условию.

Ответ: AC = BC = \( 2√{13} \).