ABCD - прямоугольник, ∠1 + ∠2 = 210°. Найдите ∠3.

Решение:

ABCD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке, делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O.

В прямоугольнике углы между диагоналями и сторонами такие:

• \( \angle BAC = \angle ACD \)
• \( \angle CAD = \angle ACB \)
• \( \angle ABD = \angle BDC \)
• \( \angle DBC = \angle ADB \)

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. В треугольнике \( △ AOB \) и \( △ COD \) углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 3 \) являются вертикальными.

Углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) смежные, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \), если они образуют развернутый угол. Однако, по условию \( \angle 1 + \angle 2 = 210^{\circ} \). Это означает, что \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) — это не смежные углы, а два угла, образованные пересечением диагоналей, как показано на рисунке.

На рисунке углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) являются частями углов, образованных диагоналями. Угол \( ∠ 1 \) — это угол между диагоналями \( AC \) и \( BD \), например, \( ∠ BOC \). Угол \( ∠ 2 \) — это угол \( ∠ BAC \).

В прямоугольнике диагонали равны: \( AC = BD \). Также \( AO = BO = CO = DO \) как половины диагоналей.

Рассмотрим треугольник \( △ AOB \). Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Углы при основании равны: \( ∠ OAB = \u2220 OBA \).

Рассмотрим треугольник \( △ BOC \). Он равнобедренный, так как \( BO = CO \). Углы при основании равны: \( ∠ OBC = \u2220 OCB \).

Угол \( ∠ 1 \) на рисунке соответствует углу \( ∠ BOC \) или \( ∠ AOD \). Угол \( ∠ 2 \) соответствует углу \( ∠ BAC \). Угол \( ∠ 3 \) соответствует углу \( ∠ ACB \).

По условию \( ∠ 1 + \u2220 2 = 210^{\circ} \). Здесь \( ∠ 1 \) — это угол между диагоналями, например, \( ∠ AOD \) или \( ∠ BOC \). Угол \( ∠ 2 \) — это \( ∠ BAC \). Угол \( ∠ 3 \) — это \( ∠ ACB \).

В прямоугольнике \( ∠ BAC = \u2220 CDB \) и \( ∠ CAD = \u2220 ACB \).

Угол \( ∠ 1 \) (например, \( ∠ BOC \)) и \( ∠ AOD \) равны. Угол \( ∠ AOB \) и \( ∠ COD \) равны. Сумма всех четырёх углов равна \( 360^{\circ} \).

\( ∠ AOD + \u2220 AOB + \u2220 BOC + \u2220 COD = 360^{\circ} \).

Так как \( ∠ AOD = \u2220 BOC \) и \( ∠ AOB = \u2220 COD \), то \( 2 ∠ AOD + 2 ∠ AOB = 360^{\circ} \), или \( ∠ AOD + ∠ AOB = 180^{\circ} \). Это означает, что \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) (как показано на рисунке, \( ∠ 2 \) — это \( ∠ BAC \) и \( ∠ 3 \) — это \( ∠ ACB \)) не могут быть смежными.

Исходя из рисунка, \( ∠ 1 \) — это угол \( ∠ BOC \), \( ∠ 2 \) — угол \( ∠ BAC \), \( ∠ 3 \) — угол \( ∠ ACB \).

В прямоугольнике \( ∠ ABC = 90^{\circ} \). \( ∠ ABC = \u2220 BAC + \u2220 ACB \) (это неверно, \( ∠ ABC = ∠ OBA + ∠ OBC \)).

\( ∠ ABC = \u2220 BAC + \u2220 ACB \) — это верно только если \( O \) лежит на \( BC \), что невозможно.

Правильно: \( ∠ ABC = 90^{\circ} \) и \( ∠ ABC = ∠ BAC + ∠ ACB \) — это верно для угла \( ∠ B \) всего прямоугольника.

Пусть \( ∠ BAC = \alpha \) и \( ∠ ACB = \beta \). Тогда \( ∠ 2 = \alpha \) и \( ∠ 3 = \beta \).

Так как \( ABCD \) — прямоугольник, \( ∠ ABC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( ∠ BAC + \u2220 ACB = 90^{\circ} \), то есть \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Угол \( ∠ 1 \) — это \( ∠ BOC \). \( ∠ BOC = 180^{\circ} - (\u2220 OBC + \u2220 OCB) \).

В равнобедренном \( △ BOC \), \( ∠ OBC = \u2220 OCB = \beta \).

Значит, \( ∠ 1 = 180^{\circ} - (\beta + \beta) = 180^{\circ} - 2\beta \).

По условию \( ∠ 1 + \u2220 2 = 210^{\circ} \). Подставим наши обозначения:

\( (180^{\circ} - 2\beta) + \alpha = 210^{\circ} \)

\( \alpha - 2\beta = 210^{\circ} - 180^{\circ} \)

\( \alpha - 2\beta = 30^{\circ} \).

У нас есть система уравнений:

1. \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \)
2. \( \alpha - 2\beta = 30^{\circ} \)

Вычтем из первого уравнения второе:

\( (\alpha + \beta) - (\alpha - 2\beta) = 90^{\circ} - 30^{\circ} \)

\( 3\beta = 60^{\circ} \)

\( \beta = 20^{\circ} \).

Значит, \( ∠ 3 = \beta = 20^{\circ} \).

Проверим:

\( \alpha = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).

\( ∠ 1 = 180^{\circ} - 2\beta = 180^{\circ} - 2(20^{\circ}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

\( ∠ 2 = \alpha = 70^{\circ} \).

\( ∠ 1 + \u2220 2 = 140^{\circ} + 70^{\circ} = 210^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: 20°.