AB is perpendicular to plane α. AD and AC are slant lines to α, BD = 6, AD = 10, AC = 16. Find ∠ACB.

Решение:

Дано: AB ⊥ α, AD и AC — наклонные, BD = 6, AD = 10, AC = 16. Найти ∠ACB.

1. В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора найдём AB:

\[ AB^2 = AD^2 - BD^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \]\[ AB = \sqrt{64} = 8 \]

2. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора найдём BC:

\[ BC^2 = AC^2 - AB^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192 \]\[ BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \]

3. В треугольнике BCD:

Мы знаем BC = \( 8\sqrt{3} \), BD = 6, CD — неизвестно.

Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем AC = 16, AB = 8, BC = \( 8\sqrt{3} \).

Используем теорему косинусов для нахождения угла ACB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \]\[ 8^2 = 16^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 16 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB) \]\[ 64 = 256 + 192 - 256\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB) \]\[ 64 = 448 - 256\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB) \]\[ 256\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB) = 448 - 64 \]\[ 256\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB) = 384 \]\[ \cos(\angle ACB) = \frac{384}{256\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Следовательно, \( \angle ACB = 30^\circ \).

Ответ: c. 30°