4. AB и CD — диаметры окружности с центром O. Найдите периметр треугольника AOC, если AB = 6 см, BD = 1,5 см.

Так как AB и CD - диаметры окружности, то они равны, и их длина равна 6 см. Следовательно, радиус окружности равен половине диаметра, то есть 3 см. $$AO = OC = 3 см$$ Периметр треугольника AOC равен сумме длин его сторон: $$P_{AOC} = AO + OC + AC$$ Нужно найти длину стороны AC. Рассмотрим треугольник BOD. OB и OD - радиусы окружности, значит, OB = OD = 3 см. Угол \(\angle BOD\) является центральным углом, опирающимся на дугу BD. Угол \(\angle AOC\) также является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Так как диаметры AB и CD пересекаются в центре O, то углы \(\angle BOD\) и \(\angle AOC\) вертикальные и, следовательно, равны. Но так как мы не знаем, чему равны углы, посчитаем другим способом. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). У них: \(AO = BO = 3\), \(CO = DO = 3\), \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные, значит, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(AC = BD = 1,5\) см. Тогда периметр треугольника AOC равен: $$P_{AOC} = 3 + 3 + 1,5 = 7,5 (см)$$ **Ответ: 7,5 см**