AB — диаметр окружности, который пересекает хорду CD в точке E. Градусная мера дуги AC равна 90°, а градусная мера дуги CBD равна 150°. Найдите ∠CEA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Градусная мера всей окружности равна 360°. Градусная мера дуги AD равна разности между полной окружностью и суммой дуг AC и CBD: \( \text{arc}(AD) = 360° - (\text{arc}(AC) + \text{arc}(CBD)) = 360° - (90° + 150°) = 360° - 240° = 120° \).

Так как AB — диаметр, то дуга ADB равна 180°. Градусная мера дуги BD равна разности между дугой ADB и дугой AD: \( \text{arc}(BD) = \text{arc}(ADB) - \text{arc}(AD) = 180° - 120° = 60° \).

Градусная мера дуги CB равна разности между полной окружностью и дугой AC и дугой ADB: \( \text{arc}(CB) = 360° - 90° - 180° = 90° \).

Градусная мера дуги CD равна сумме градусных мер дуг CB и BD: \( \text{arc}(CD) = \text{arc}(CB) + \text{arc}(BD) = 90° + 60° = 150° \).

Угол CEA — это развернутый угол, который образует прямую AB. Угол CED является вертикальным углом к углу AEB. Угол CEA является внешним углом треугольника AED. Для нахождения угла CEA, можно найти угол AED. Угол AED является вписанным углом, опирающимся на дугу AD. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, \( \triangle AED \) опирается на дугу AD, которая равна 120°. Таким образом, \( \triangle AED = \frac{1}{2} \text{arc}(AD) = \frac{1}{2} \times 120° = 60° \).

Угол CEA является смежным к углу AED. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно, \( \triangle CEA = 180° - \triangle AED = 180° - 60° = 120° \).

Ответ: 120°.