А2. В прямоугольном треугольнике АВС \( \angle C = 90° \), \( \angle A = 30° \), \( AC = 10 \) см, CD — высота, проведенная к стороне АВ, DE — перпендикуляр, проведенный из точки D к стороне АС. Чему равна длина АЕ?

Решение:

В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle A = 30° \), \( \angle C = 90° \), значит \( \angle B = 180° - 90° - 30° = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle ADC \) \( \angle ADC = 90° \), \( \angle A = 30° \), значит \( \angle ACD = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle CDE \) \( \angle CED = 90° \), \( \angle CDE = 30° \) (так как \( \angle ACD = 60° \)).

Найдем \( AD \) из \( \triangle ABC \). \( AD = AC \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Найдем \( CD \) из \( \triangle ADC \). \( CD = AC \tan(30°) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle CDE \). \( DE \) — катет, противолежащий углу 30°, значит \( DE = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) см.

\( AE \) — катет в \( \triangle ADE \). \( AE^2 = AD^2 - DE^2 = (5\sqrt{3})^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 = 75 - \frac{75}{9} = 75 - \frac{25}{3} = \frac{225 - 25}{3} = \frac{200}{3} \).

\( AE = \sqrt{\frac{200}{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \) см.

Проверим вариант 4.

В \( \triangle ADC \) \( \angle C = 60° \), \( \angle A = 30° \). \( AC=10 \). \( AD = AC \cos 30° = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

\( DE \perp AC \). \( \triangle ADE \) прямоугольный.

В \( \triangle ABC \) \( AB = \frac{AC}{\cos 30°} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} \). \( CD = AB \sin 30° = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{\sqrt{3}} \).

В \( \triangle CDE \) \( \angle DCE = 60° \), \( \angle CDE = 30° \). \( AE = AD \cos 30° = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \).

Ответ: 7,5 см.