А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. BC: AC = 3: 4, UAB < 180°, AC < 180°, ∠BCA = 40°. Чему равен угол ВОС?

1. Пусть BC = 3x, AC = 4x. По теореме синусов, BC/sin(∠BAC) = AC/sin(∠ABC) = 2R.

2. Также, BC/sin(∠BAC) = AC/sin(∠ABC) = AB/sin(∠BCA).

3. Угол ВОС является центральным углом, опирающимся на дугу ВС. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Следовательно, ∠BOC = 2 * ∠BAC.

4. Из условия ∠BCA = 40°. Пусть ∠BAC = α, ∠ABC = β. Тогда α + β + 40° = 180°, α + β = 140°.

5. По теореме синусов: 3x/sin(α) = 4x/sin(β). 3sin(β) = 4sin(α). 3sin(140° - α) = 4sin(α). 3(sin(140°)cos(α) - cos(140°)sin(α)) = 4sin(α).

6. Решая уравнение, получаем α ≈ 70°, β ≈ 70°. Это неверно, так как углы должны быть разными.

7. Пересмотрим условие. Возможно, отношение дуг, а не сторон. Если дуги BC: AC = 3:4, то центральные углы BOC: AOC = 3:4.

8. Пусть ∠BOC = 3y, ∠AOC = 4y. Угол BCA = 40° опирается на дугу AB. ∠AOB = 2 * ∠ACB = 2 * 40° = 80°.

9. Сумма центральных углов вокруг точки О равна 360°. ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360°. 80° + 3y + 4y = 360°. 7y = 280°. y = 40°.

10. ∠BOC = 3y = 3 * 40° = 120°.

11. Ответ: 120°.