A19. Тело брошено вертикально вверх. Если на высоте h = 75 м тело побывало дважды с интервалом времени Δt = 2,0 с, то модуль начальной скорости v₀, сообщенной телу, равен:

Решение:

Уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх, имеет вид: \( h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \), где \( v_0 \) — начальная скорость, \( g \) — ускорение свободного падения (примем \( g = 10 \) м/с²).

По условию, на высоте \( h = 75 \) м тело побывало дважды с интервалом \( \Delta t = 2.0 \) с. Это означает, что существуют два момента времени \( t_1 \) и \( t_2 \) такие, что \( t_2 - t_1 = 2.0 \) с, и \( h(t_1) = h(t_2) = 75 \) м.

Запишем уравнение для высоты:

\[ 75 = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \]\[ \frac{gt^2}{2} - v_0 t + 75 = 0 \]\[ 5t^2 - v_0 t + 75 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно времени \( t \). У него должно быть два корня \( t_1 \) и \( t_2 \).

По теореме Виета для квадратного уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \), сумма корней \( t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} \) и произведение корней \( t_1 t_2 = \frac{c}{a} \).

В нашем случае \( a = 5 \), \( b = -v_0 \), \( c = 75 \).

Сумма корней: \( t_1 + t_2 = -\frac{-v_0}{5} = \frac{v_0}{5} \).

Произведение корней: \( t_1 t_2 = \frac{75}{5} = 15 \).

Нам дано, что \( t_2 - t_1 = 2.0 \) с.

Возведём разность времён в квадрат:

\[ (t_2 - t_1)^2 = 4 \]\[ t_2^2 - 2t_1 t_2 + t_1^2 = 4 \]\[ t_1^2 + t_2^2 - 2t_1 t_2 = 4 \]\[ (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2 = 4 \]\[ (\frac{v_0}{5})^2 - 4(15) = 4 \]\[ \frac{v_0^2}{25} - 60 = 4 \]\[ \frac{v_0^2}{25} = 64 \]\[ v_0^2 = 64 \cdot 25 \]\[ v_0^2 = 1600 \]\[ v_0 = \sqrt{1600} \]\[ v_0 = 40 \text{ м/с} \]

Проверим, что дискриминант для квадратного уравнения \( 5t^2 - v_0 t + 75 = 0 \) больше нуля при \( v_0 = 40 \) м/с.

\[ D = (-v_0)^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(5)(75) = 1600 - 1500 = 100 \]\[ D = 100 > 0 \], значит, существуют два действительных корня.

Найдем корни:

\[ t = \frac{v_0 \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 10}{10} \]\[ t_1 = \frac{40 - 10}{10} = \frac{30}{10} = 3 \text{ с} \]\[ t_2 = \frac{40 + 10}{10} = \frac{50}{10} = 5 \text{ с} \]\[ t_2 - t_1 = 5 - 3 = 2 \text{ с} \]. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 40 м/с.