A15. На высоте h = 80 см над горизонтальным равномерно вращающимся диском находится маленький шарик. Вдоль радиуса диска проведена линия, соединяющая центр и край диска. Если за время свободного падения шарика, не имеющего начальной скорости, линия повернулась на угол ДФ = pi/5 рад, то частота v вращения диска равна: 1) 0,25 c⁻¹; 2) 1,5 c⁻¹; 3) 2,5 c⁻¹; 4) 3,0 c⁻¹; 5) 6,0 c⁻¹.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно связать время падения шарика с углом поворота диска.

1. Время свободного падения: Шарик падает с высоты \( h \) без начальной скорости. Используем формулу кинематики: \( h = \frac{1}{2}gt^2 \). Выразим время \( t \): \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \).
2. Угол поворота диска: За время падения \( t \) диск повернулся на угол \( \Delta \phi = \frac{\pi}{5} \) радиан.
3. Связь между углом и временем: Угловая скорость \( \omega \) диска постоянна, так как вращение равномерное. Угол поворота равен \( \Delta \phi = \omega t \).
4. Частота вращения: Частота \( \nu \) связана с угловой скоростью соотношением \( \omega = 2\pi\nu \).
5. Подставим значения:
• Высота \( h = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м} \).
• Ускорение свободного падения \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) (для упрощения расчетов, если не указано иное).
• Время падения: \( t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.8}{10}} = \sqrt{\frac{1.6}{10}} = \sqrt{0.16} = 0.4 \text{ с} \).
• Угловая скорость: \( \omega = \frac{\Delta \phi}{t} = \frac{\pi/5}{0.4} = \frac{\pi}{5 \cdot 0.4} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} \).
• Частота вращения: \( \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/2}{2\pi} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ с}^{-1} \).

Ответ: 1) 0,25 c⁻¹