а) Углы 1 и 2 равны, поэтому углы 1 и 2 вертикальные. б) Углы 1 и 2 равны и имеют общую вершину, значит, углы 1 и 2 вертикальные. в) Углы 1 и 2 равны и их биссектрисы лежат на одной прямой, следовательно, углы 1 и 2 вертикальные. Все приведенные ниже утверждения — неверные. Подтвердите это рисунком-контрпримером.

Анализ утверждений и контрпример

Давай разберем каждое утверждение по очереди и попробуем найти контрпример.

Утверждение а)

"Углы 1 и 2 равны, поэтому углы 1 и 2 вертикальные."

Это утверждение неверное. Вертикальные углы всегда равны, но равенство углов не гарантирует, что они вертикальные. Углы могут быть равны по другим причинам.

Контрпример:

Представь себе два равных острых угла, которые не являются вертикальными. Например, два угла по 30 градусов, которые не имеют общей вершины или не являются смежными.

Рисунок-контрпример:

На этом рисунке углы 1 и 2 равны (например, по 30°), но они не вертикальные. Угол 1 — это угол между лучами OC и OA. Угол 2 — это угол между лучами OA и OB. Угол 3 — это угол между лучами OC и OB.

Утверждение б)

"Углы 1 и 2 равны и имеют общую вершину, значит, углы 1 и 2 вертикальные."

Это утверждение неверное. Наличие общей вершины — это необходимое условие для вертикальных углов, но его недостаточно. Углы могут иметь общую вершину и быть равными, но не быть вертикальными. Например, если два угла прилегают друг к другу и их сумма равна 90°.

Контрпример:

Рассмотрим два угла, которые имеют общую вершину, равны по 45°, но не являются вертикальными.

Рисунок-контрпример:

Здесь углы 1 и 2 могут быть равны по 45°, они имеют общую вершину O. Но они не являются вертикальными, так как не образуются пересечением двух прямых. Углы 3 и 4 также равны по 45°.

Утверждение в)

"Углы 1 и 2 равны и их биссектрисы лежат на одной прямой, следовательно, углы 1 и 2 вертикальные."

Это утверждение верное.

Обоснование:

1. Пусть O — вершина углов 1 и 2. Пусть лучи OA и OC образуют угол 1, а лучи OA и OB — угол 2. Если углы 1 и 2 равны и имеют общую сторону OA, то лучи OC и OB либо совпадают, либо являются дополнительными.

2. Если бы лучи OC и OB совпадали, то углы 1 и 2 были бы одним и тем же углом, что противоречит условию, что они разные (хотя бы из-за наличия биссектрис, которые делят углы).

3. Значит, лучи OC и OB — дополнительные, то есть образуют прямую линию. Углы 1 и 2 имеют общую вершину O и образуют развернутый угол 180°, если они являются смежными.

4. Биссектриса угла — это луч, который делит угол пополам. Если биссектрисы углов 1 и 2 лежат на одной прямой, это означает, что эта прямая проходит через вершину O и делит углы 1 и 2 пополам.

5. Если две прямые пересекаются, то образуются вертикальные углы. Пусть одна прямая — это линия, содержащая стороны углов 1 и 2 (или их продолжение), а другая прямая — это биссектриса, на которой лежат биссектрисы углов 1 и 2.

6. Пусть биссектриса угла 1 — это луч OM, а биссектриса угла 2 — это луч ON. Если OM и ON лежат на одной прямой, и эта прямая проходит через вершину O, то эта прямая является либо стороной углов 1 и 2, либо их продолжением. Если углы 1 и 2 равны, и их биссектрисы лежат на одной прямой, это значит, что эта прямая делит углы пополам. Это возможно только если углы 1 и 2 являются вертикальными.

Рисунок, иллюстрирующий верное утверждение (в):

В данном случае, если углы 3 и 4 равны (что следует из того, что их биссектрисы OM и ON лежат на одной прямой, являющейся продолжением луча OA), и они являются смежными, то углы 1 и 2 (вертикальные к ним) также равны. Если же прямая, содержащая биссектрисы, является одной из прямых, образующих углы, тогда сами углы 1 и 2 будут вертикальными.