A. Трансформация изображения (8 баллов). Исходно имеется квадратное изображение со стороной n пикселей, причём n > 100, в котором каждый пиксель кодируется целым числом байтов, равном степени двойки. Это изображение увеличили по горизонтали в a раз, по вертикали в b раз, причём b − a = 1. Полученное новое изображение занимает 6635520 байтов. Указать исходную сторону изображения n в пикселях при условии, что для кодирования каждого пикселя используется максимально возможное число байтов. Варианты: 128, 144, 160, 180, 576.

Пусть на один пиксель нового изображения приходится k байтов, где k — степень двойки. Тогда число пикселей нового изображения равно n²ab, а размер файла: 6635520 = n²abk. Поскольку b = a + 1, множитель ab — произведение двух последовательных целых чисел.

Разложим размер файла на простые множители: 6635520 = 2¹⁴ · 3⁴ · 5.

Проверим вариант n = 144: тогда n² = 2⁸ · 3⁴, поэтому после деления общего размера на n² остаётся 2⁶ · 5 = 320 байтов на произведение ab и число байтов на пиксель. При a = 4 и b = 5 получаем ab = 20, а число байтов на пиксель k = 320 / 20 = 16 = 2⁴.

Это максимальное возможное k: при n = 144 нечётная часть произведения ab должна делить 5. Среди произведений последовательных целых чисел с такой нечётной частью минимальное по степени двойки подходящее произведение — 4 · 5 = 20; оно оставляет k = 16. Другие варианты стороны не подходят: при n = 128 остаётся нечётный множитель 405, который невозможно распределить между ab и степенью двойки k; для n = 160, 180 и 576 разложение общего размера также не даёт целого допустимого произведения ab и степени двойки k.

Ответ: 144 пикселя.