Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математикаа) Решите уравнение sin 2x + 2 sinx-$$\frac{4π}{3}$$= √3 cos x. б) Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π].
Ответ:
Привет! Сейчас разберемся с этим уравнением и найдем все его корни на заданном отрезке. Погнали!
Ответ: а) \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]; б) \[x = -\frac{4\pi}{3}, x = -\frac{5\pi}{3}\]
Решение:
- Шаг 1: Преобразуем уравнение
Используем формулу синуса двойного угла: \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\]
Исходное уравнение: \[2 \sin x \cos x + 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x + \frac{4\pi}{3}\]
- Шаг 2: Приведем к общему виду
Преобразуем уравнение к виду: \[2 \sin x \cos x + 2 \sin x - \sqrt{3} \cos x - \sqrt{3} = 0\]
- Шаг 3: Сгруппируем и вынесем общие множители
Сгруппируем члены: \[(2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x) + (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0\]
Вынесем общие множители: \[\cos x (2 \sin x - \sqrt{3}) + 1 \cdot (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0\]
Получаем: \[(\cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0\]
- Шаг 4: Решим каждое уравнение
- \[\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
- \[2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
- Шаг 5: Отбор корней на отрезке \[[-2\pi; -\pi]\]
Проверим корни:
- \[x = \pi + 2\pi k\]:
- При k = -1: \[x = \pi - 2\pi = -\pi\] (подходит)
- \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\]:
- При k = -1: \[x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\] (подходит)
- \[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\]:
- При k = -1: \[x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}\] (подходит)
Ответ: а) \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]; б) \[x = -\frac{4\pi}{3}, x = -\frac{5\pi}{3}\]
Математический ниндзя:
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена
