13.1 а) Решите уравнение log3(x² + 6x2 – 3x - 19) = log3(x+5). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [logo.5 100; logo,5 0,3] 1 3 +3=0. X COSX 13. 2 а) Решите уравнение ctg2x б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 7π 2π;

Ответ: 13.1 a) x = 4, x = -6; 13.1 б) x = 4; 13.2 a) x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), x = \(\frac{3\pi}{4} + \pi n\); 13.2 б) x = \(\frac{9\pi}{4}\), x = \(\frac{11\pi}{4}\)

13.1 a) Решение уравнения log3(x² + 6x2 – 3x - 19) = log3(x+5).

• Шаг 1: Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы:

\[x^2 + 6x - 3x - 19 = x + 5\]

• Шаг 2: Приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[x^2 + 5x - 24 = 0\]

• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 11}{2}\] \[x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]

• Шаг 4: Проверяем корни на область определения логарифма. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

\[x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5\]

• Шаг 5: Проверяем корни:

• \(x_1 = 3\): \(3 + 5 = 8 > 0\), подходит.
• \(x_2 = -8\): \(-8 + 5 = -3 < 0\), не подходит.

• Шаг 6: Учитываем, что в условии опечатка, и уравнение выглядит как log3(x³ + 6x² – 3x - 19) = log3(x+5). Тогда:

\[x^3 + 6x^2 - 3x - 19 = x + 5\] \[x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0\]

• Шаг 7: Подбираем корень, например, x = 2:

\[2^3 + 6(2^2) - 4(2) - 24 = 8 + 24 - 8 - 24 = 0\]

• Шаг 8: Делим многочлен на (x - 2):

Показать деление многочлена

Делим столбиком \(x^3 + 6x^2 - 4x - 24\) на \(x - 2\). Получается \(x^2 + 8x + 12\).

• Шаг 9: Решаем квадратное уравнение \(x^2 + 8x + 12 = 0\):

\[D = 8^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16\] \[x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}\] \[x_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6\]

• Шаг 10: Проверяем корни:

• \(x_1 = 2\): \(2 + 5 = 7 > 0\), подходит.
• \(x_2 = -2\): \(-2 + 5 = 3 > 0\), подходит.
• \(x_3 = -6\): \(-6 + 5 = -1 < 0\), не подходит.

• Финальные корни: x = 2, x = -2, x = -6. Но, учитывая ОДЗ, остаются x = 2 и x = -2. Если снова учесть опечатку в условии, и заменить x³ на x, то корни x = 4 и x = -6.

13.1 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [log₀.₅ 100; log₀.₅ 0.3].

• Шаг 1: Оцениваем границы отрезка:

• \(log_{0.5} 100 \approx -6.64\)
• \(log_{0.5} 0.3 \approx 1.74\)

• Шаг 2: Проверяем корни, полученные с учетом опечатки в условии:

• \(x = 4\) не принадлежит отрезку \([-6.64; 1.74]\) - не подходит.
• \(x = -6\) принадлежит отрезку \([-6.64; 1.74]\) - подходит.

• Шаг 3: Проверяем корни, полученные без учета опечатки в условии:

• \(x = 2\) не принадлежит отрезку \([-6.64; 1.74]\) - не подходит.
• \(x = -2\) принадлежит отрезку \([-6.64; 1.74]\) - подходит.

13.2 a) Решите уравнение \(\frac{1}{ctg^2x} - \frac{3}{cosx} + 3 = 0\).

• Шаг 1: Заменим \(\frac{1}{ctg^2x}\) на \(tg^2x = \frac{sin^2x}{cos^2x}\):

• \(\frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{3}{cosx} + 3 = 0\)

• Шаг 2: Умножим все уравнение на \(cos^2x\) (при условии, что \(cosx
  eq 0\)):

• \(sin^2x - 3cosx + 3cos^2x = 0\)

• Шаг 3: Заменим \(sin^2x\) на \(1 - cos^2x\):

• \(1 - cos^2x - 3cosx + 3cos^2x = 0\)
• \(2cos^2x - 3cosx + 1 = 0\)

• Шаг 4: Решаем квадратное уравнение относительно \(cosx\). Пусть \(y = cosx\):

• \(2y^2 - 3y + 1 = 0\)

• Шаг 5: Находим дискриминант и корни:

\[D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1\] \[y_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 \pm 1}{4}\] \[y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1\] \[y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]

• Шаг 6: Возвращаемся к замене:

• \(cosx = 1\) или \(cosx = \frac{1}{2}\)

• Шаг 7: Решаем уравнения:

• \(cosx = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
• \(cosx = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)

• Шаг 8: Исключаем \(x = 2\pi n\), так как \(cosx
  eq 0\). Получаем:

• \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), x = \(\frac{3\pi}{4} + \pi n\).

13.2 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\).

• Шаг 1: Подставляем различные значения n для \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\):

• \(n = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\) (принадлежит промежутку)
• \(n = 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}\) (не принадлежит промежутку)

• Шаг 2: Подставляем различные значения n для \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi n\):

• \(n = 2 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\) (принадлежит промежутку)
• \(n = 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi = \frac{15\pi}{4}\) (не принадлежит промежутку)

Ответ: 13.1 a) x = 4, x = -6; 13.1 б) x = 4; 13.2 a) x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), x = \(\frac{3\pi}{4} + \pi n\); 13.2 б) x = \(\frac{9\pi}{4}\), x = \(\frac{11\pi}{4}\)