а) Решите уравнение cos²x + sin² (x - π/4) = 1/2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 6π].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \). Отсюда \( \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} \).
2. Воспользуемся формулой синуса разности: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \).
3. Тогда \( \sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \left( \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) \right)^2 \)
4. \( = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 (\sin(x) - \cos(x))^2 = \frac{1}{2} (\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)) \)
5. \( = \frac{1}{2} (1 - \sin(2x)) \).
6. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

\[ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \sin(2x)}{2} = \frac{1}{2} \]

\[ 1 + \cos(2x) + 1 - \sin(2x) = 1 \]

\[ 2 + \cos(2x) - \sin(2x) = 1 \]

\[ \cos(2x) - \sin(2x) = -1 \]

Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Используя формулу \( \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \), где \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), получим:

\[ \cos(2x)\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Это уравнение имеет два случая:

1. \( 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. \( 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Решим первый случай:

\[ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]

\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \]

Решим второй случай:

\[ 2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 2x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 2x = -\pi + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \]

Итак, корни уравнения: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) Корни, принадлежащие отрезку [5π; 6π]:

Для первой серии корней \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \):

• При \( k = 5 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{\pi + 20\pi}{4} = \frac{21\pi}{4} = 5.25\pi \). Это значение принадлежит отрезку \( [5\pi; 6\pi] \).
• При \( k = 6 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{\pi + 24\pi}{4} = \frac{25\pi}{4} = 6.25\pi \). Это значение не принадлежит отрезку \( [5\pi; 6\pi] \).

Для второй серии корней \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \):

• При \( k = 6 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{- \pi + 12\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} = 5.5\pi \). Это значение принадлежит отрезку \( [5\pi; 6\pi] \).
• При \( k = 7 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 7\pi = \frac{- \pi + 14\pi}{2} = \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi \). Это значение не принадлежит отрезку \( [5\pi; 6\pi] \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{21\pi}{4} \) и \( \frac{11\pi}{2} \).