а) Решите уравнение 9^{sin x} + 9^{sin\(x+\pi\)} = \(\frac{10}{3}\).

Решение:

Упростим выражение, используя свойство \( \sin(x+\pi) = -\sin x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ 9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \frac{10}{3} \]

Пусть \( y = 9^{\sin x} \). Тогда уравнение станет:

\[ y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3} \]

Умножим обе части на \( 3y \):

\[ 3y^2 + 3 = 10y \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 3y^2 - 10y + 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).

Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

\( y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь вернемся к замене \( y = 9^{\sin x} \):

1. \( 9^{\sin x} = 3 \)
\( (3^2)^{\sin x} = 3^1 \)
\( 3^{2\sin x} = 3^1 \)
\( 2\sin x = 1 \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)

2. \( 9^{\sin x} = \frac{1}{3} \)
\( (3^2)^{\sin x} = 3^{-1} \)
\( 3^{2\sin x} = 3^{-1} \)
\( 2\sin x = -1 \)
\( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( \sin x = \frac{1}{2} \) или \( \sin x = -\frac{1}{2} \).